1. परिचय

पिछले अध्याय में आपने आंकड़ों की सारणीबद्ध और आलेखीय प्रस्तुति के बारे में पढ़ा है। इस अध्याय में आप केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों का अध्ययन करेंगे जो आंकड़ों को संक्षेप में समझाने का एक संख्यात्मक तरीका है। आप दैनिक जीवन में बड़े समूह के आंकड़ों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के उदाहरण देख सकते हैं, जैसे किसी कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा परीक्षा में प्राप्त औसत अंक, किसी क्षेत्र में औसत वर्षा, किसी कारखाने में औसत उत्पादन, किसी मोहल्ले या फर्म में काम करने वाले व्यक्तियों की औसत आय आदि।

बैजू एक किसान है। वह बिहार के बक्सर जिले के बालापुर गाँव में अपनी ज़मीन पर खाद्यान्न उगाता है। गाँव में 50 छोटे किसान हैं। बैजू के पास 1 एकड़ ज़मीन है। आप बालापुर के छोटे किसानों की आर्थिक स्थिति जानने में रुचि रखते हैं। आप बालापुर गाँव में बैजू की आर्थिक स्थिति की तुलना करना चाहते हैं। इसके लिए आपको उसकी ज़मीन के आकार का मूल्यांकन करना होगा, जिसे बालापुर के अन्य किसानों की ज़मीन के आकार से तुलना करके किया जा सकता है। आप यह देखना चाहेंगे कि बैजू के पास जो ज़मीन है वह -

1. सामान्य अर्थों में औसत से ऊपर है (अंकगणितीय माध्य देखें)
2. आधे किसानों की ज़मीन के आकार से ऊपर है (माध्यिका देखें)
3. अधिकांश किसानों की ज़मीन से ऊपर है (बहुलक देखें)

बैजू की सापेक्ष आर्थिक स्थिति का मूल्यांकन करने के लिए, आपको बलापुर के किसानों की भूमि धारणा के संपूर्ण आंकड़ों का सार प्रस्तुत करना होगा। यह केंद्रीय प्रवृत्ति (central tendency) के उपयोग से किया जा सकता है, जो आंकड़ों को एक ऐसे एकल मान में संक्षेपित करता है कि वह एकल मान संपूर्ण आंकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सके। केंद्रीय प्रवृत्ति की माप आंकड़ों को एक विशिष्ट या प्रतिनिधि मान के रूप में संक्षेपित करने की विधि है।

केंद्रीय प्रवृत्ति के कई सांख्यिकीय माप या “औसत” होते हैं। सबसे अधिक प्रयोग किए जाने वाले तीन औसत हैं:

• समांतर माध्य (Arithmetic Mean)
• माध्यिका (Median)
• बहुलक (Mode)

ध्यान दें कि औसत के दो और प्रकार भी हैं—ज्यामितीय माध्य (Geometric Mean) और हार्मोनिक माध्य (Harmonic Mean)—जो विशेष परिस्थितियों में उपयुक्त होते हैं; परंतु वर्तमान चर्चा उपरोक्त तीन औसतों तक सीमित रहेगी।

2. समांतर माध्य

मान लीजिए छह परिवारों की मासिक आय (रुपयों में) इस प्रकार दी गई है: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

माध्य परिवार आय प्राप्त की जाती है सभी आयों को जोड़कर और परिवारों की संख्या से भाग देकर।

$=\frac{1600 +1500 +1400 +1525 +1625 +1630}{6}$

= रु 1,547

इसका तात्पर्य है कि औसतन एक परिवार रु 1,547 कमाता है।

अंकगणितीय माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक प्रयुक्त माप है। इसे सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करने पर परिभाषित किया गया है और इसे सामान्यतः $\overline{\mathrm{X}}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सामान्यतः, यदि $\mathrm{N}$ प्रेक्षण $X_1, X_2, X_3$,…, $X_N$ के रूप में हैं, तो अंकगणितीय माध्य इस प्रकार दिया जाता है

$$ \bar{X}=\frac{X _{1}+X _{2}+X _{3}+\ldots+X _{N}}{N} $$

दायाँ पक्ष $\frac{\sum _{i=1}^{N}\mathrm{X} _{i}}{\mathrm{~N}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ, $\mathrm{i}$ एक सूचक है जो क्रमिक मान 1,2, $3,\ldots\mathrm{N}$ लेता है।

सुविधा के लिए, इसे सूचक i के बिना सरल रूप में लिखा जाएगा। इस प्रकार $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum\mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, जहाँ, $\Sigma\mathrm{X}=$ सभी प्रेक्षणों का योग और $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या।

अंकगणितीय माध्य की गणना कैसे की जाती है

अंकगणितीय माध्य की गणना को दो व्यापक श्रेणियों के अंतर्गत अध्ययन किया जा सकता है:

1. असमूहीकृत आंकड़ों के लिए अंकगणितीय माध्य।
2. समूहीकृत आंकड़ों के लिए अंकगणितीय माध्य।

असमूहीकृत आंकड़ों की श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य

प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य किसी श्रृंखला में सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 1

एक कक्षा में छात्रों के अर्थशास्त्र परीक्षा में प्राप्त अंकों के आंकड़ों से अंकगणितीय माध्य की गणना करें: $40,50,55$, $78,58$।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma\mathrm{X}}{\mathrm{N}}\ & =\frac{40 +50 +55 +78 +58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

अर्थशास्त्र परीक्षा में छात्रों के औसत अंक 56.2 हैं।

अभिगृहीत माध्य विधि

यदि आंकड़ों में प्रेक्षणों की संख्या अधिक है और/या संख्याएँ बड़ी हैं, तो प्रत्यक्ष विधि से समांतर माध्य निकालना कठिन हो जाता है। अभिगृहीत माध्य विधि का प्रयोग करके गणना को आसान बनाया जा सकता है।

एक ऐसे आंकड़ा-समुच्चय से माध्य निकालने में समय बचाने के लिए जिसमें बड़ी संख्या में प्रेक्षण तथा बड़ी संख्याएँ हों, आप अभिगृहीत माध्य विधि का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ आप तर्क/अनुभव के आधार पर आंकड़े में किसी विशेष संख्या को समांतर माध्य मान लेते हैं। फिर आप उस अभिगृहीत माध्य से प्रत्येक प्रेक्षण का विचलन निकालते हैं। इसके बाद इन विचलनों का योग निकालकर उसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित करते हैं। वास्तविक समांतर माध्य का अनुमान अभिगृहीत माध्य तथा विचलनों के योग और प्रेक्षणों की संख्या के अनुपात के योग से लगाया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

मान लीजिए, $\mathrm{A}=$ अभिगृहीत माध्य

$\mathrm{X}=$ व्यक्तिगत प्रेक्षण

$\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की कुल संख्या

$d=$ अभिगृहीत माध्य से व्यक्तिगत प्रेक्षण का विचलन, अर्थात् $d=X-A$

तब सभी विचलनों का योग $\Sigma\mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ लिया जाता है

फिर $\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ निकालिए

फिर $\mathrm{A}$ और $\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ को जोड़कर $\overline{\mathrm{X}}$ प्राप्त करें

इसलिए, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

आपको याद रखना चाहिए कि कोई भी मान, चाहे वह आंकड़ों में मौजूद हो या नहीं, माना हुआ माध्य लिया जा सकता है। हालांकि, गणना को सरल बनाने के लिए, आंकड़ों में केंद्र-स्थित मान को माना हुआ माध्य चुना जा सकता है।

उदाहरण 2

निम्नलिखित आंकड़े 10 परिवारों की साप्ताहिक आय को दर्शाते हैं।

परिवार

$\text { A }\text { B }\text { C }\text { D }\text { E }\text { F }\text { G }\text { H }$

$\text { I }\text{ J }$

साप्ताहिक आय (रुपये में)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

माध्य परिवार आय की गणना करें।

TABLE 5.1 माना हुआ माध्य विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना

माना हुआ माध्य विधि का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850 +(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

इस प्रकार, दोनों विधियों से एक परिवार की औसत साप्ताहिक आय ₹ 1,116 है। आप इसे प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करके जाँच सकते हैं।

चरण विचलन विधि

गणनाओं को और भी सरल बनाया जा सकता है यदि माना गया माध्य से लिए गए सभी विचलनों को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड ‘c’ से विभाजित कर दिया जाए। उद्देश्य बड़ी संख्यात्मक संख्याओं से बचना है, अर्थात्, यदि $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ बहुत बड़ा है, तो $\mathrm{d}^{\prime}$ ज्ञात कीजिए। इसे इस प्रकार किया जा सकता है:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

सूत्र नीचे दिया गया है:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}}\times\mathrm{c} $$

जहाँ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) /\mathrm{c},\quad\mathrm{c}=$ उभयनिष्ठ गुणनखंड, $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या, $\mathrm{A}=$ माना गया माध्य।

इस प्रकार, आप उदाहरण 2 में चरण विचलन विधि से समांतर माध्य की गणना कर सकते हैं,

$X=850 +(266 / 10)\times 10 =₹ 1,116$.

समूहबद्ध आँकड़ों के लिए समांतर माध्य की गणना

विवृत श्रेणी

प्रत्यक्ष विधि

विवृत श्रेणी के मामले में, प्रत्येक प्रेक्षण के विरुद्ध बारंबारता को प्रेक्षण के मान से गुणा किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त मानों को योग किया जाता है और कुल बारंबारताओं की संख्या से विभाजित किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma\mathrm{fX}}{\Sigma\mathrm{f}} $$

जहाँ, $\Sigma\mathrm{fX}=$ चरों और बारंबारताओं के गुणनफल का योग।

$\Sigma f=$ बारंबारताओं का योग।

**उदाहरण 3 **

एक आवासीय कॉलोनी में प्लॉट केवल तीन आकारों में आते हैं: 100 वर्ग मीटर, 200 वर्ग मीटर और 300 वर्ग मीटर और प्लॉटों की संख्या क्रमशः 200, 50 और 10 है।

TABLE 5.2 प्रत्यक्ष विधि द्वारा समांतर माध्य की गणना

प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करते हुए समांतर माध्य,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum\mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ वर्ग मीटर

इसलिए, आवासीय कॉलोनी में औसत प्लॉट का आकार 126.92 वर्ग मीटर है।

मान्य माध्य विधि

जैसा कि व्यक्तिगत श्रेणी के मामले में गणनाओं को मान्य माध्य विधि का प्रयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जैसा कि पहले वर्णित किया गया है, एक सरल संशोधन के साथ। चूंकि प्रत्येक मद की आवृत्ति (f) यहाँ दी गई है, हम प्रत्येक विचलन (d) को आवृत्ति से गुणा करके fd प्राप्त करते हैं। फिर हम $\Sigma\mathrm{fd}$ प्राप्त करते हैं। अगला चरण सभी आवृत्तियों का योग प्राप्त करना है अर्थात् $\Sigma\mathrm{f}$। फिर $\Sigma\mathrm{fd} /\Sigma\mathrm{f}$ ज्ञात कीजिए। अंत में, समांतर माध्य की गणना $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{fd}}{\Sigma\mathrm{f}}$ द्वारा मान्य माध्य विधि का प्रयोग करके की जाती है।

चरण विचलन विधि

इस स्थिति में, विचलनों को उभयनिष्ठ गुणनखंड ‘c’ से विभाजित किया जाता है जिससे गणना सरल हो जाती है। यहाँ हम $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ का आकलन करते हैं ताकि गणना को आसान बनाने के लिए संख्यात्मक अंकों का आकार घटाया जा सके। फिर $\mathrm{fd}^{\prime}$ और $\Sigma\mathrm{fd}^{\prime}$ प्राप्त करें। पद विचलन विधि का उपयोग करके समांतर माध्य का सूत्र इस प्रकार दिया गया है,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma\mathrm{f}}\times\mathrm{c} $$

गतिविधि

• उदाहरण 3 में दिए गए आँकड़ों के लिए पद विचलन और कल्पित माध्य विधियों का उपयोग करके भूखंड का औसत आकार ज्ञात कीजिए।

सतत श्रेणी

यहाँ, वर्ग अंतराल दिए गए हैं। सतत श्रेणी के मामले में समांतर माध्य की गणना करने की प्रक्रिया विविक्त श्रेणी के समान ही होती है। एकमात्र अंतर यह है कि विभिन्न वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदु लिए जाते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि वर्ग अंतराल अपवर्जी या समावेशी या असमान आकार के हो सकते हैं। अपवर्जी वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-10, 10-20 इत्यादि। समावेशी वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-9, 10-19 इत्यादि। असमान वर्ग अंतराल का उदाहरण है, मान लीजिए, 0-20, 20-50 इत्यादि। इन सभी स्थितियों में समांतर माध्य की गणना समान तरीके से की जाती है।

उदाहरण 4

निम्नलिखित विद्यार्थियों के औसत अंक (a) प्रत्यक्ष विधि (b) पद विचलन विधि का उपयोग करके निकालिए।

प्रत्यक्ष विधि

अंक

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

विद्यार्थियों की संख्या

५ $\quad$ १२ $\quad$ १५ $\quad$ २५ $\quad$ ८

३ $\quad$ २

TABLE 5.3 विशिष्ट वर्ग अंतराल के लिए प्रत्यक्ष विधि द्वारा औसत अंकों की गणना

चरण:

1. प्रत्येक वर्ग के लिए मध्य मान प्राप्त करें जिसे $\mathrm{m}$ द्वारा दर्शाया गया है।
2. $\Sigma\mathrm{fm}$ प्राप्त करें और प्रत्यक्ष विधि का सूत्र लगाएं:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma\mathrm{fm}}{\Sigma\mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{अंक} $$

चरण विचलन विधि

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ प्राप्त करें
2. $\mathrm{A}=35$ लें, (कोई भी मनमाना मान), $\mathrm{c}=$ सामान्य गुणांक।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma\mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma\mathrm{f}}\times\mathrm{c}=35 +\frac{(-34)}{70}\times 10 \\ & =30.14 \text { अंक } \end{aligned} $$

A. M. के दो रोचक गुण

(i) माध्य के संबंध में मदों के विचलनों का योग सदैव शून्य के बराबर होता है। प्रतीकात्मक रूप से, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) अंकगणितीय माध्य चरम मानों से प्रभावित होता है। किसी भी बड़े मान, चाहे वह किसी भी सिरे पर हो, इसे ऊपर या नीचे धकेल सकता है।

भारित अंकगणितीय माध्य

कभी-कभी अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय विभिन्न वस्तुओं को उनके महत्व के अनुसार भार देना महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण के लिए, दो वस्तुएं हैं, आम और आलू। आप आम के औसत मूल्य $P_1$ और आलू के मूल्य $P_2$ को ज्ञात करने में रुचि रखते हैं। अंकगणितीय माध्य होगा $\frac{p_1 +p_2}{2}$। हालांकि, आप आलू के मूल्य में वृद्धि को अधिक महत्व देना चाह सकते हैं $P_2$। ऐसा करने के लिए, आप ‘भार’ के रूप में उपभोक्ता के बजट में आम के हिस्से का उपयोग कर सकते हैं $\left(\mathrm{W} _{1}\right)$ और बजट में आलू के हिस्से का $\left(\mathrm{W} _{2}\right)$। अब बजट में हिस्सों द्वारा भारित अंकगणितीय माध्य होगा $\frac{\mathrm{W} _{1}\mathrm{P} _{1}+\mathrm{W} _{2}\mathrm{P} _{2}}{\mathrm{~W} _{1}+\mathrm{W} _{2}}$

सामान्य रूप से भारित अंकगणितीय माध्य दिया गया है,

$$ \frac{\mathrm{w} _{1}\mathrm{x} _{1}+\mathrm{w} _{2}\mathrm{x} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}\mathrm{x} _{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} _{1}+\mathrm{w} _{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma\mathrm{wx}}{\Sigma\mathrm{w}} $$

जब मूल्य बढ़ते हैं, तो आप उन वस्तुओं के मूल्यों में वृद्धि में रुचि रख सकते हैं जो आपके लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। आप इसके बारे में अधिक अध्याय 8 में सूचकांक संख्याओं की चर्चा में पढ़ेंगे।

गतिविधियाँ

• निम्नलिखित उदाहरण के लिए समांतर माध्य के गुण की जाँच करें:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• उपरोक्त उदाहरण में यदि माध्य 2 बढ़ जाए, तो व्यक्तिगत प्रेक्षणों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
• यदि पहले तीन मद 2 बढ़ जाते हैं, तो अंतिम दो मदों के क्या मान होने चाहिए ताकि माध्य वही रहे।
• मान 12 को 96 से बदलें। समांतर माध्य पर क्या प्रभाव पड़ता है? टिप्पणी करें।

3. माध्यिका

माध्यिका चर का वह स्थिति मूल्य है जो बंटन को दो समान भागों में विभाजित करता है, एक भाग उन सभी मानों को सम्मिलित करता है जो माध्यिका मान से बड़े या बराबर हैं और दूसरा भाग उन सभी मानों को सम्मिलित करता है जो माध्यिका से छोटे या बराबर हैं। माध्यिका वह “मध्य” तत्व है जब डेटा सेट को परिमाण के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। चूँकि माध्यिका विभिन्न मानों की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है, यदि सबसे बड़े मान का आकार बढ़ भी जाए तो यह अप्रभावित रहती है।

माध्यिका की गणना

माध्यिका को आसानी से डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करके और मध्य मान को ज्ञात करके गणना की जा सकती है।

उदाहरण 5

मान लीजिए हमारे पास डेटा सेट में निम्नलिखित प्रेक्षण हैं: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, और 3।

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आपके पास है:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$.

“मध्य स्कोर” 6 है, इसलिए माध्यिका 6 है। आधे स्कोर 6 से बड़े हैं और आधे स्कोर 6 से छोटे हैं।

यदि डेटा में सम संख्या होती है, तो दो प्रेक्षण मध्य में आते हैं। इस स्थिति में माध्यिका की गणना दो मध्य मानों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है।

गतिविधियाँ

• श्रृंखला के सभी चार मानों के लिए माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

तालिका 5.4 विभिन्न श्रृंखलाओं का माध्य और माध्यिका

श्रृंखला	X (चर मान)	माध्य	माध्यिका
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• क्या माध्यिका चरम मानों से प्रभावित होती है? आउटलायर क्या होते हैं?
• क्या माध्यिका माध्य से बेहतर विधि है?

उदाहरण 6

निम्नलिखित डेटा 20 छात्रों के अंक प्रदान करता है। आपको माध्यिका अंक की गणना करनी है।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, आपको प्राप्त होता है

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72.

आप देख सकते हैं कि दो प्रेक्षण मध्य में हैं, 45 और 46। माध्यिका को इन दो प्रेक्षणों के माध्य को लेकर प्राप्त किया जा सकता है:

माध्यिका $=\frac{45 +46}{2}=45.5$ अंक

माध्यिका की गणना करने के लिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि माध्यिका की स्थिति क्या है अर्थात् माध्यिका किस मद/मदों पर स्थित है। माध्यिका की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

माध्यक की स्थिति $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ प्रेक्षण

जहाँ $\mathrm{N}=$ प्रेक्षणों की संख्या।

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र आपको क्रमबद्ध सरणी में माध्यक की स्थिति देता है, न कि माध्यक स्वयं। माध्यक इस सूत्र से परिकलित किया जाता है:

माध्यक $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {वाँ}}}{2}$ प्रेक्षण का मान

विवृत श्रेणी

विवृत श्रेणी के मामले में माध्यक की स्थिति अर्थात् $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {वाँ}}$ प्रेक्षण संचयी बारंबारता के माध्यम से स्थित किया जा सकता है। इस स्थिति पर संगत मान माध्यक का मान होता है।

उदाहरण 7

व्यक्तियों की संख्या और उनकी संगत आय (₹ में) की बारंबारता बंटन नीचे दी गई है। माध्यिक आय की गणना कीजिए।

$\begin{array}{lllll}\text { आय (₹ में): } & 10 & 20 & 30 & 40 \end{array}$

व्यक्तियों की संख्या: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

माध्यिक आय की गणना करने के लिए, आप नीचे दी गई बारंबारता बंटन तैयार कर सकते हैं।

तालिका 5.5 विवृत श्रेणी के लिए माध्यक की गणना

माध्यिका $(\mathrm{N}+1)$ / $2 =(20 +1) / 2 =10.5^{\text {th }}$ प्रेक्षण पर स्थित है। इसे संचयी बारंबारता के माध्यम से आसानी से स्थित किया जा सकता है। $10.5^{\text {th }}$ प्रेक्षण 16 की c. f. में आता है। इससे संगत आय Rs 30 है, इसलिए माध्यिका आय $\mathrm{Rs} 30$ है।

सतत् श्रेणी

सतत् श्रेणी के मामले में आपको माध्यिका वर्ग को स्थित करना होता है जहाँ $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ मद $\left[\right.$ न कि $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ मद] स्थित है। फिर माध्यिका इस प्रकार प्राप्त की जा सकती है:

Median $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c. f.) })}{\mathrm{f}}\times\mathrm{h}$

जहाँ, $\mathrm{L}=$ माध्यिका वर्ग की निचली सीमा,

c. f. $=$ माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता,

$\mathrm{f}=$ माध्यिका वर्ग की बारंबारता,

$\mathrm{h}=$ माध्यिका वर्ग अंतराल का परिमाण।

यदि बारंबारता असमान आकार या परिमाण की है तो कोई समायोजन आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 8

निम्नलिखित आँकड़े एक कारखाने में कार्यरत व्यक्तियों की दैनिक मजदूरी से संबंधित हैं। माध्यिका दैनिक मजदूरी की गणना कीजिए।

दैनिक मजदूरी (Rs में):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

कार्यकर्ताओं की संख्या:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33 \end{array}$

$28 \quad 14$

आँकड़े यहाँ अवरोही क्रम में व्यवस्थित हैं।

उपरोक्त चित्रण में माध्यिका वर्ग $(\mathrm{N} / 2)^{\text {th }}$ वस्तु (अर्थात् 160 /2) $=80^{\text {th }}$ वस्तु का मान है, जो 35-40 वर्ग अंतराल में आती है। माध्यिका का सूत्र लगाते हुए:

TABLE 5.6 सतत् श्रेणी के लिए माध्यिका की गणना

$$ \begin{aligned} \text { माध्यिका } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { सं. आ. })}{\mathrm{f}}\times\mathrm{h}\\ & =\frac{35 +(80-75)}{30}\times(40-35)\\ & =₹ 35.83 \end{aligned} $$

इस प्रकार, माध्यिका दैनिक वेतन ₹ 35.83 है। इसका अर्थ है कि 50 % श्रमिक ₹ 35.83 से कम या बराबर पा रहे हैं और 50 % श्रमिक इस वेतन से अधिक या बराबर पा रहे हैं।

आपको याद रखना चाहिए कि माध्यिका, केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में, श्रेणी के सभी मानों के प्रति संवेदनशील नहीं होती है। यह आँकड़ों के केन्द्रीय वस्तुओं के मानों पर केन्द्रित होती है।

चतुर्थक

चतुर्थक (Quartiles) वे माप हैं जो आँकड़ों को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, प्रत्येक भाग में बराबर संख्या में प्रेक्षण होते हैं। तीन चतुर्थक होते हैं। प्रथम चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{1}$ से दर्शाया जाता है) या निम्न चतुर्थक के नीचे वितरण के 25% मद होते हैं और 75% मद इससे बड़े होते हैं। द्वितीय चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{2}$ से दर्शाया जाता है) या माध्यिका के नीचे 50% मद होते हैं और 50% प्रेक्षण इसके ऊपर होते हैं। तृतीय चतुर्थक (जिसे $\mathrm{Q}{3}$ से दर्शाया जाता है) या उच्च चतुर्थक के नीचे वितरण के 75% मद होते हैं और 25% मद इसके ऊपर होते हैं। इस प्रकार, $\mathrm{Q}{1}$ और $\mathrm{Q}_{3}$ उन दो सीमाओं को दर्शाते हैं जिनके भीतर केंद्रीय 50% आँकड़े स्थित होते हैं।

प्रतिशतक (Percentiles)

प्रतिशतक वितरण को सौ बराबर भागों में बाँटते हैं, इसलिए आप 99 विभाजन स्थितियाँ प्राप्त कर सकते हैं जिन्हें $\mathrm{P}{1},\mathrm{P}{2}$, $\mathrm{P}{3},\ldots,\mathrm{P}{99}$ से दर्शाया जाता है। $\mathrm{P}_{50}$ माध्यिका मान है। यदि आपने किसी प्रबंधन प्रवेश परीक्षा में 82 प्रतिशतक प्राप्त किया है, तो इसका अर्थ है कि आपका स्थान परीक्षा में उपस्थित कुल अभ्यर्थियों के 18 प्रतिशत से नीचे है। यदि कुल एक लाख विद्यार्थी उपस्थित हुए हों, तो आप कहाँ खड़े हैं?

चतुर्थकों की गणना

व्यक्तिगत और विवृत श्रृंखला के मामले में क्वार्टाइल खोजने की विधि माध्यक की तरह ही होती है। एक क्रमबद्ध श्रृंखला के $\mathrm{Q} _{1}$ और $\mathrm{S} _{3}$ का मान निम्न सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ $\mathrm{N}$ प्रेक्षणों की संख्या है।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ वस्तु का आकार

$Q _{3}=\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वस्तु का आकार।

उदाहरण 9

एक परीक्षा में दस विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के आँकड़ों से निम्न चतुर्थांश का मान गणना कीजिए।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ वस्तु का आकार $=\frac{(10 +1)^{\text {th }}}{4}$ वस्तु का आकार $=2.75^{\text {th }}$ वस्तु का आकार $=2$ वीं वस्तु +.75 (3 वीं वस्तु -2 वीं वस्तु) $=12 +.75(14-12)=13.5$ अंक।

गतिविधि

• स्वयं $\mathrm{B} _{3}$ ज्ञात कीजिए।

5. बहुलक

कभी-कभी आप किसी श्रेणी के सबसे प्रतिनिधित्व वाले मान या वह मान जानने में रुचि रखते हैं जिसके आसपास अधिकतम संख्या में आइटम केंद्रित होते हैं। उदाहरण के लिए, एक निर्माता यह जानना चाहेगा कि जूतों का कौन-सा आकार सबसे अधिक मांग में है या कमीज़ का कौन-सा स्टाइल सबसे अधिक बार माँगा जाता है। यहाँ, बहुलक (Mode) सबसे उपयुक्त मापक है। ‘Mode’ शब्द फ्रेंच शब्द “la Mode” से लिया गया है जिसका अर्थ है वितरण का सबसे फैशनेबल मान, क्योंकि यह श्रेणी में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है। बहुलक वह सबसे अधिक बार प्रेक्षित डेटा मान है। इसे $\mathrm{M} _{\text {o }}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

बहुलक की गणना

विकृत श्रेणी (Discrete Series)

डेटा सेट $1,2,3,4,4,5$ पर विचार करें। इस डेटा का बहुलक 4 है क्योंकि 4 सबसे अधिक बार (दो बार) आता है।

उदाहरण 10

निम्नलिखित विकृत श्रेणी को देखें:

चर $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

बारंबारता $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

यहाँ, जैसा कि आप देख सकते हैं, अधिकतम बारंबारता 20 है, इसलिए बहुलक का मान 30 है। इस स्थिति में, चूँकि बहुलक का एक अद्वितीय मान है, डेटा एक-बहुलकीय (unimodal) है। लेकिन बहुलक अनिवार्यतः अद्वितीय नहीं होता, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका के विपरीत। आपके पास दो बहुलकों वाला डेटा (द्वि-बहुलकीय) या दो से अधिक बहुलकों वाला डेटा (बहु-बहुलकीय) हो सकता है। यह भी संभव है कि कोई बहुलक न हो यदि कोई भी मान वितरण में किसी अन्य मान की तुलना में अधिक बार न आए। उदाहरण के लिए, श्रेणी $1,1,2,2,3,3,4$, 4 में कोई बहुलक नहीं है।

सतत श्रेणी

सतत बारंबारता बंटन के मामले में, बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। बहुलक को निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

$$ \mathrm{M} _{\mathrm{o}}=\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}}\times\mathrm{h} $$

जहाँ $\mathrm{L}=$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा $\mathrm{D} _{1}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिह्नों की उपेक्षा करते हुए)।

$\mathrm{D} _{2}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता और बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता के बीच का अंतर (चिह्नों की उपेक्षा करते हुए)।

$h=$ बंटन का वर्ग अंतराल।

आप ध्यान दें कि सतत श्रेणी के मामले में, वर्ग अंतराल समान होने चाहिए और बहुलक की गणना के लिए श्रेणी विशिष्ट होनी चाहिए। यदि मध्य बिंदु दिए गए हैं, तो वर्ग अंतराल प्राप्त किए जाने चाहिए।

उदाहरण 11

निम्नलिखित आंकड़ों से बहुलक श्रमिक परिवार की मासिक आय का मान परिकलित कीजिए:

मासिक आय (हजार रुपये में) की कम से क संचयी बारंबारता बंटन

जैसा कि आप देख सकते हैं यह संचयी बारंबारता बंटन का एक मामला है। मोड की गणना करने के लिए आपको इसे विशिष्ट श्रेणी में बदलना होगा। इस उदाहरण में श्रेणी अवरोही क्रम में है। मोडक वर्ग ज्ञात करने के लिए इस सारणी को सामान्य बारंबारता सारणी (सारणी 5.7) में बदलना चाहिए।

मोड का मान 25-30 वर्ग अंतराल में है। निरीक्षण से भी देखा जा सकता है कि यह मोडक वर्ग है।

अब $\mathrm{L}=25,\mathrm{D} _{1}=(30-18)=12,\mathrm{D} _{2}=$ $(30-20)=10, h=5$

सूत्र का प्रयोग करके आप मोड का मान प्राप्त कर सकते हैं:

$\mathrm{M} _{\mathrm{O}}$ (‘000 रु में)

$$ \begin{aligned} \mathrm{M} _{\mathrm{o}} & =\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D} _{1}}{\mathrm{D} _{1}+\mathrm{D} _{2}}\times\mathrm{h}\\ & =25 +\frac{12}{12 +10}\times 5 =27.273 \end{aligned} $$

इस प्रकार मोडक श्रमिक परिवार की मासिक आय रु 27.273 है।

गतिविधियाँ

• एक जूता कंपनी, जो केवल वयस्कों के लिए जूते बनाती है, यह जानना चाहती है कि सबसे लोकप्रिय जूते का आकार कौन-सा है। इसके लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त रहेगा?
• निम्नलिखित वस्तुओं का उत्पादन करने वाली कंपनियों के लिए कौन-सा औसत सबसे उपयुक्त रहेगा? क्यों?

(i) डायरियाँ और नोटबुकें

(ii) स्कूल बैग

(iii) जींस और टी-शर्ट्स

• अपनी कक्षा में एक छोटा-सा सर्वेक्षण करें ताकि केंद्रीय प्रवृत्ति की उपयुक्त माप का उपयोग करके छात्रों की चीनी भोजन के प्रति पसंद का पता लगाया जा सके।
• क्या मोड को आलेखीय रूप से स्थित किया जा सकता है?

6. अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और बहुलक की सापेक्ष स्थिति

मान लीजिए हम व्यक्त करते हैं,

अंकगणितीय माध्य $=\mathrm{M} _{\mathrm{e}}$

माध्यिका $=\mathrm{M} _{\mathrm{i}}$

बहुलक $=\mathrm{M} _{\mathrm{o}}$

तीनों की सापेक्ष मात्रा $M _{e}>M _{i}>M _{o}$ या $M _{e}<M _{i}<M _{o}$ है (प्रत्यय वर्णानुक्रम में आते हैं)। माध्यिका सदैव अंकगणितीय माध्य और बहुलक के बीच में होती है।

7. निष्कर्ष

केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप या औसत आँकड़ों का सार प्रस्तुत करने के लिए प्रयुक्त होते हैं। यह डेटा सेट का वर्णन करने के लिए एक एकल सबसे प्रतिनिधि मान निर्दिष्ट करता है। अंकगणितीय माध्य सबसे अधिक प्रयुक्त औसत है। इसकी गणना सरल है और यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित है, परन्तु यह चरम मदों की उपस्थिति से अत्यधिक प्रभावित होता है। ऐसे आँकड़ों के लिए माध्यिका एक बेहतर सार होती है। बहुलक प्रायः गुणात्मक आँकड़ों का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त होता है। माध्यिका और बहुलक को आलेखीय रूप से सरलता से परिकलित किया जा सकता है। खुले सिरों वाले वितरण में भी इन्हें सरलता से परिकलित किया जा सकता है। इस प्रकार, विश्लेषण के उद्देश्य और वितरण की प्रकृति के अनुसार उपयुक्त औसत चयनित करना महत्वपूर्ण है।

सारांश

• केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप एक एकल मान द्वारा आँकड़ों का सार प्रस्तुत करता है, जो सम्पूर्ण आँकड़ों का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• अंकगणितीय माध्य को सभी प्रेक्षणों के मानों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित कर परिभाषित किया जाता है।
• अंकगणितीय माध्य से मदों के विचलनों का योग सदैव शून्य के बराबर होता है।
• कभी-कभी विभिन्न मदों को उनके महत्व के अनुसार भार देना आवश्यक होता है।
• माध्यिका वितरण का केन्द्रीय मान है इस अर्थ में कि माध्यिका से कम मानों की संख्या माध्यिका से अधिक मानों की संख्या के बराबर होती है।
• चतुर्थक सम्पूर्ण मानों के समुच्चय को चार समान भागों में विभाजित करते हैं।
• बहुलक वह मान है जो सर्वाधिक बार आता है।

अभ्यास

1. निम्नलिखित परिस्थितियों में कौन-सा औसत उपयुक्त होगा?

(i) तैयार कपड़ों का औसत आकार।

(ii) किसी कक्षा में विद्यार्थियों की औसत बुद्धि।

(iii) किसी कारखाने में प्रति शिफ्ट औसत उत्पादन।

(iv) किसी औद्योगिक उपक्रम में औसत मजदूरी।

(v) जब औसत से निरपेक विचलनों का योग न्यूनतम हो।

(vi) जब चर की मात्राएँ अनुपातों में हों।

(vii) खुले-सिरे वाले बारंबारता बंटन की स्थिति में।

2. प्रत्येक प्रश्न के नीचे दिए गए बहुविकल्पी विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त विकल्प चिह्नित कीजिए।

(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधित उपयुक्त औसत है

(a) समांतर माध्य

(b) माध्यिका

(c) बहुलक

(d) गुणोत्तर माध्य

(e) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(ii) चरम मानों की उपस्थिति किस औसत को सर्वाधिक प्रभावित करती है?

(a) माध्यिका

(b) बहुलक

(c) समांतर माध्य

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

(iii) $n$ मानों के एक समुच्चय का A. M. से विचलनों का बीजगणितीय योग है

(a) $\mathrm{n}$

(b) 0

(c) 1

(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

[उत्तर (i) b (ii) c (iii) b]

3. निम्नलिखित कथनों की सत्यता या असत्यता पर टिप्पणी कीजिए।

(i) माध्यिका से मानों के विचलनों का योग शून्य होता है।

(ii) किसी श्रेणी की तुलना के लिए केवल औसत पर्याप्त नहीं होता।

(iii) समांतर माध्य एक स्थितीय मान होता है।

(iv) ऊपरी चतुर्थक शीर्ष $25 %$ मानों का न्यूनतम मान होता है।

(v) माध्यिका चरम प्रेक्षणों से अत्यधिक प्रभावित होती है।

[उत्तर (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) असत्य]

4. यदि नीचे दिए गए आँकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (a) लुप्त बारंबारता ज्ञात कीजिए, और (b) श्रेणी की माध्यिका ज्ञात कीजिए:

प्रत्येक खुदरा दुकान से लाभ (रुपये में) $\quad$ 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50 $\quad$ 50-60

खुदरा दुकानों की संख्या $\qquad\quad$ 12 $\qquad$ 18 $\qquad$ 27 $\qquad$ - $\qquad$ 17 $\qquad$ 6

(उत्तर: लुप्त आवृत्ति का मान 20 है और माध्यक का मान रु. 27.41 है)

5. निम्न सारणी एक कारखाने के दस श्रमिकों की दैनिक आय देती है। समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

श्रमिक $\quad$ A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ E $\quad$ F $\quad$ G $\quad$ H $\quad$ I

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 120 \quad 150 \quad 180 \quad 200 \quad 250 \quad 300 \quad 220 \quad 350 \quad 370 \quad 260$ (उत्तर: रु. 240)

6. निम्न सूचना 150 परिवारों की दैनिक आय से संबंधित है। समांतर माध्य की गणना कीजिए।

7. एक गाँव की 380 परिवारों की भूमि धारणाओं का आकार नीचे दिया गया है। भूमि धारणाओं की माध्यिका आकार ज्ञात कीजिए।

भूमि धारणाओं का आकार (एकड़ में)

100 से कम $\quad 100-200 \quad 200-300 \quad 300-400 \quad 400$ और ऊपर.

परिवारों की संख्या $\quad 40 \quad 89 \quad 148 \quad 64 \quad 39 $

(उत्तर: 241.22 एकड़)

8. निम्नलिखित श्रृंखला एक फर्म में कार्यरत श्रमिकों की दैनिक आय से संबंधित है। परिकलित कीजिए (क) न्यूनतम 50% श्रमिकों की उच्चतम आय (ख) शीर्ष 25% श्रमिकों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय और (ग) न्यूनतम 25% श्रमिकों द्वारा अर्जित अधिकतम आय।

दैनिक आय (रुपये में) $\quad 10-14 \quad 15-19 \quad 20-24 \quad 25-29 \quad 30-34 \quad 35-39$

श्रमिकों की संख्या $\quad 5 \quad 10 \quad 15 \quad 20 \quad 10 \quad 5$

(संकेत: माध्यिका, निम्न चतुर्थांश और ऊपरी चतुर्थांश की गणना कीजिए।)

[उत्तर (क) रु 25.11 (ख) रु 19.92 (ग) रु 29.19]

9. निम्नलिखित सारणी एक गाँव के 150 खेतों में गेहूं के प्रति हेक्टेयर उत्पादन प्राप्ति को किग्रा. में देती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक मानों की गणना कीजिए।

उत्पादन प्राप्ति (किग्रा. प्रति हेक्टेयर) $\quad 50-53 \quad 53-56 \quad 56-59 \quad 59-62 62-65 \quad 65-68 \quad 68-71 \quad 71-74 \quad 74-77$

खेतों की संख्या $\quad 3 \quad 8 \quad 14 \quad 30 \quad 36 \quad 28 \quad 16 \quad 10 \quad 5 $

(उत्तर माध्य $=63.82 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, माध्यिका $=63.67 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर, बहुलक $=63.29 \mathrm{~kg}$. प्रति हेक्टेयर)