आपने अध्याय 1 में पढ़ा है कि मानचित्र के सभी प्रकारों में मापनी एक अनिवार्य तत्व है। यह इतनी महत्वपूर्ण है कि यदि रेखाओं और बहुभुजों का कोई जाल मापनी नहीं दिखाता, तो हम उसे “रफ़ चित्र” कहते हैं। मापनी इतनी महत्वपूर्ण क्यों है? इसका क्या अर्थ है? मानचित्र पर मापनी दिखाने की विभिन्न विधियाँ क्या हैं? दूरी और क्षेत्रफल मापने में मापनी कितनी उपयोगी है? ये कुछ ऐसे प्रश्न हैं जिन पर इस अध्याय में विचार किया जाएगा।

शब्दावली

हर: भिन्न में रेखा के नीचे का अंक। उदाहरण के लिए, 1 : 50,000 के भिन्न में 50,000 हर है।
अंश: भिन्न में रेखा के ऊपर का अंक। उदाहरण के लिए, 1 : 50,000 के भिन्न में 1 अंश है।
प्रतिनिधि भिन्न: मानचित्र या योजना की मापनी की एक विधि जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है और जो मानचित्र या योजना पर एक इकाई दूरी और जमीन पर उसी इकाई में मापी गई दूरी के बीच अनुपात दर्शाता है।

मापनी क्या है?

आपने ऐसे मानचित्र तो देखे ही होंगे जिनमें बराबर विभाजनों वाली मापनी पट्टी होती है, जिन पर किलोमीटर या मील में अंकन होता है। इन विभाजनों का उपयोग मानचित्र पर जमीनी दूरी ज्ञात करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, मानचित्र की मापनी मानचित्र और उस पर दिखाए गए पृथ्वी के पूरे या किसी भाग के बीच सम्बन्ध प्रदान करती है। हम इस सम्बन्ध को उन दो बिन्दुओं के बीच की मानचित्र दूरी और जमीन पर उन्हीं दो बिन्दुओं के बीच की संगत दूरी के अनुपात के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं।

इस संबंध को व्यक्त करने के कम-से-कम तीन तरीके हैं। ये हैं:

1. स्केल का कथन

2. प्रतिनिधि भिन्न (R. F.)

3. ग्राफ़िकल स्केल

स्केल के इन तरीकों में से प्रत्येक के कुछ लाभ और सीमाएँ हैं। लेकिन इन मुद्दों को उठाने से पहले, आइए समझें कि स्केल सामान्यतः मापन की किसी एक प्रणाली में व्यक्त किया जाता है। आपने ज़मीन पर दो बिंदुओं के बीच की रेखीय दूरी मापने के लिए किलोमीटर, मीटर, सेंटीमीटर आदि को पढ़ा और/या प्रयोग किया होगा। आपने मील, फरलॉन्ग, यार्ड, फुट आदि के बारे में भी सुना होगा। ये दुनिया के विभिन्न देशों में प्रयोग होने वाली दूरी मापने की दो भिन्न प्रणालियाँ हैं। जहाँ पहली प्रणाली को मीट्रिक प्रणाली कहा जाता है और वर्तमान में भारत तथा दुनिया के कई अन्य देशों में प्रयोग होती है, वहीं दूसरी प्रणाली को अंग्रेज़ी प्रणाली कहा जाता है और यह संयुक्त राज्य अमेरिका तथा यूनाइटेड किंगडम दोनों में प्रचलित है। भारत ने भी 1957 से पहले रेखीय दूरी मापने/दिखाने के लिए इसी प्रणाली का प्रयोग किया था। इन प्रणालियों की मापन इकाइयाँ बॉक्स 2.1 में दी गई हैं।

स्केल के तरीके

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मानचित्र का स्केल एक या एक से अधिक स्केल तरीकों के संयोजन का प्रयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। आइए देखें कि ये तरीके कैसे प्रयोग किए जाते हैं और इनके क्या लाभ तथा सीमाएँ हैं।

बॉक्स 2.1 मापन की प्रणालियाँ

मापन की मीट्रिक प्रणाली
$1 \mathrm{~km}\quad=1000$ मीटर
1 मीटर $=100$ सेंटीमीटर
1 सेंटीमीटर $=10$ मिलीमीटर
मापन की अंग्रेज़ी प्रणाली
1 माइल $=8$ फर्लॉन्ग
1 फर्लॉन्ग $=220$ यार्ड
1 यार्ड $=3$ फुट
1 फुट $=12$ इंच

1. स्केल का कथन: किसी मानचित्र का स्केल लिखित कथन के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी मानचित्र पर लिखित कथन आता है कि $1 \mathrm{~cm}$ $10 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है, तो इसका अर्थ है कि उस मानचित्र पर $1 \mathrm{~cm}$ की दूरी ज़मीनी दूरी के $10 \mathrm{~km}$ को दर्शा रही है। इसे किसी अन्य मापन प्रणाली में भी व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात् 1 इंच 10 माइल को दर्शाता है। यह तीनों विधियों में सबसे सरल है। हालाँकि, यह ध्यान रखना चाहिए कि एक प्रणाली से परिचित लोग किसी अन्य मापन प्रणाली में दिए गए स्केल के कथन को समझ नहीं पा सकते हैं। इस विधि की एक अन्य सीमा यह है कि यदि मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है, तो स्केल व्यर्थ हो जाएगा और एक नया स्केल तैयार करना होगा।

2. ग्राफ़िकल या बार स्केल: दूसरे प्रकार का स्केल मानचित्र की दूरियों और संगत धरती की दूरियों को एक लाइन बार पर प्राथमिक और द्वितीयक विभाजनों के साथ दिखाता है। इसे ग्राफ़िकल स्केल या बार स्केल कहा जाता है (चित्र 2.1)। यह ध्यान देने योग्य है कि चित्र 2.1 में बार स्केल पर दिखाए गए स्केल रीडिंग केवल किलोमीटर और मीटर में होते हैं। किसी अन्य बार स्केल में रीडिंग माइल और फर्लांग में दिखाई जा सकती हैं। इसलिए, स्केल के वक्तव्य विधि की तरह, यह विधि भी केवल उन लोगों के लिए सीमित उपयोग पाती है जो इसे समझ सकते हैं। हालांकि, स्केल के वक्तव्य विधि के विपरीत, ग्राफ़िकल स्केल तब भी वैध रहता है जब मानचित्र को घटाया या बढ़ाया जाता है। यह मानचित्र स्केल की ग्राफ़िकल विधि का अनोखा लाभ है।

चित्र 2.1

3. प्रतिनिधित्व अनुपात (R. F.): तीसरे प्रकार का स्केल R. F. है। यह मानचित्र की दूरी और संगत धरती की दूरी के बीच लंबाई की इकाइयों में संबंध दिखाता है। स्केल को व्यक्त करने के लिए इकाइयों के उपयोग से यह सबसे बहुमुखी विधि बन जाती है।

आर. एफ. आमतौर पर भिन्न के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि यह दर्शाता है कि वास्तविक दुनिया को मानचित्र पर समायोजित करने के लिए कितना घटाया गया है। उदाहरण के लिए, 1:24,000 का एक भिन्न दिखाता है कि मानचित्र पर लंबाई की एक इकाई जमीन पर उसी इकाइयों की 24,000 इकाइयों को दर्शाती है, अर्थात् मानचित्र पर एक $\mathrm{mm}$, एक $\mathrm{cm}$ या एक इंच क्रमशः जमीन पर $24,000 \mathrm{~mm}$, 24,000 $\mathrm{cm}$ और 24,000 इंच को दर्शाता है। यह, हालांकि, ध्यान दिया जा सकता है कि जबकि इकाइयों के भिन्न को मीट्रिक या अंग्रेजी प्रणालियों में बदलते समय, सेंटीमीटर या इंच में इकाइयों का उपयोग सामान्य रूप से परंपरा से किया जाता है। आर. एफ. में इकाइयों में पैमाने को व्यक्त करने की यह गुणवत्ता इसे एक सार्वभौमिक रूप से स्वीकार्य और उपयोगी विधि बनाती है। आइए आर. एफ. के $1:36,000$ को आर. एफ. की सार्वभौमिक प्रकृति को विस्तार से समझाने के लिए लें।

यदि दिया गया मापनी $1: 36,000$ है, तो मीट्रिक पद्धति से परिचित व्यक्ति दी गई इकाइयों को $\mathrm{cm}$ में बदलकर पढ़ेगा, अर्थात् मानचित्र पर 1 इकाई की दूरी को $1 \mathrm{~cm}$ तथा जमीन पर 36,000 इकाइयों की दूरी को $36,000 \mathrm{~cm}$ के रूप में। इन मानों को बाद में मापनी के कथन में बदला जा सकता है, अर्थात् $1 \mathrm{~cm}$ 360 मीटर को दर्शाता है। (हर के मानों को मीटर में सेंटीमीटरों की संख्या, अर्थात् 100 से भाग देकर)। फिर भी मापनी के एक अन्य उपयोगकर्ता, जो अंग्रेज़ी मापन पद्धति से परिचित है, वह मानचित्र की मापनी को अपने लिए सुविधाजनक मापनी के कथन में बदलकर समझेगा और मानचित्र की मापनी को 1 इंच 1,000 गज़ को दर्शाता है के रूप में पढ़ेगा। उपरोक्त मापनी का कथन हर के 36,000 इकाइयों को 36 (गज़ में इंचों की संख्या) से भाग देकर प्राप्त किया जाएगा।

मापनी का रूपांतरण

यदि आपने मापनी की विभिन्न विधियों के लाभों और सीमाओं को ध्यानपूर्वक पढ़ा है, तो आपके लिए मापनी के कथन को प्रतिनिधि भिन्न में और इसके विपरीत रूपांतरित करना कठिन नहीं होगा।

मापनी के कथन को R. F. में

समस्या दिए गए मापनी के कथन 1 इंच 4 मील को दर्शाता है को R. F. में बदलें।

हल दिए गए मापनी के कथन को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके R. F. में बदला जा सकता है।

1 इंच 4 मील को दर्शाता है

या $\quad 1$ इंच $4 \times 63,360$ इंच को दर्शाता है (1 मील $=63,360$ इंच)

या $\quad 1$ इंच 253,440 इंच को दर्शाता है

नोट: अब हम “इंचेस” वर्ण को “यूनिट्स” से बदल सकते हैं और इसे इस प्रकार पढ़ सकते हैं:

1 यूनिट 253,440 यूनिट्स को दर्शाता है

उत्तर आर. एफ. $1: 253,440$

आर. एफ. को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में

समस्या आर. एफ. $1: 253,440$ को स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदलें (मीट्रिक सिस्टम में)

हल दिया गया आर. एफ. $1: 253,440$ को निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके स्टेटमेंट ऑफ स्केल में बदला जा सकता है:

$1: 253,440$ का अर्थ है कि

नक्शे पर 1 यूनिट जमीन पर 253,440 यूनिट्स को दर्शाता है।

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ 253,440 /100,000 $(1 \mathrm{~km}=100,000$ cm) को दर्शाता है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $2.5344 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

2 दशमलव तक राउंडिंग के बाद, उत्तर होगा:

उत्तर $1 \mathrm{~cm}$ $2.53 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

ग्राफिकल/बार स्केल का निर्माण

समस्या 1 $1: 50,000$ स्केल पर बने नक्शे के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाएं और दूरी को किलोमीटर और मीटर में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए लगभग $15 \mathrm{~cm}$ लंबाई ली जाती है।

गणना ग्राफिकल स्केल के लिए रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

नक्शे की 1 यूनिट जमीन पर 50,000 यूनिट्स को दर्शाती है

या $\quad 1 \mathrm{~cm}$ $50,000 \mathrm{~cm}$ को दर्शाता है

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $50,000 \times 15 / 100,000 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

या $\quad 15 \mathrm{~cm}$ $7.5 \mathrm{~km}$ को दर्शाता है

चूँकि $7.5(\mathrm{~km})$ का मान एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 या $10(\mathrm{~km})$ को गोल संख्या चुन सकते हैं। वर्तमान स्थिति में हम 5 को गोल संख्या चुनते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने वाली रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित गणनाएँ की जानी हैं:

$\quad 7.5 \mathrm{~km}$ को $15 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया गया है

$\quad 5 \mathrm{~km}$ को $15 \times 5 / 7.5$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

या $\quad 5 \mathrm{~km}$ को $10 \mathrm{~cm}$ की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित का पालन करते हुए बनाया जा सकता है

$10 \mathrm{~cm}$ की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें और दाहिनी ओर के 4 भागों को 0 चिह्न से प्रत्येक के लिए $1 \mathrm{~km}$ का मान निर्धारित करें। साथ ही बाईं ओर के अंतिम भाग को 10 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से शुरू करते हुए 100 मीटर के मान से चिह्नित करें। (आप इसे 2, 4 या 5 भागों में भी विभाजित कर सकते हैं और प्रत्येक उप-विभाजन को क्रमशः 0 से 500, 250 या 200 मीटर का मान दे सकते हैं।

आकृति 2.2

समस्या 2 एक ग्राफिकल स्केल का निर्माण करें जब दिया गया स्केल का कथन 1 इंच द्वारा 1 मील को दर्शाना है और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

नोट: $\quad$ परंपरा के अनुसार, ग्राफिकल स्केल खींचने के लिए लगभग 6 इंच की लंबाई ली जाती है।

गणनाएँ ग्राफिकल स्केल की रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

1 इंच 1 मील को दर्शाता है

या 6 इंच 6 मील को दर्शाते हैं

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

6 इंच की एक सीधी रेखा खींचें और उसे 6 बराबर भागों में विभाजित करें और दाईं ओर के 5 भागों में प्रत्येक के लिए 1 मील का मान निर्धारित करें। साथ ही बाईं ओर के अंतिम भाग को 4 बराबर भागों में विभाजित करें और प्रत्येक भाग को 0 से शुरू करते हुए 2 मील के मान से चिह्नित करें।

आकृति 2.3

समस्या 3 एक ग्राफिकल स्केल बनाएँ जब दिया गया R. F. 1: 50,000 हो और दूरियों को मील और फर्लांग में पढ़ें।

गणनाएँ ग्राफिकल स्केल की रेखा की लंबाई प्राप्त करने के लिए, इन चरणों का पालन किया जा सकता है:

$1: 50,000$ का अर्थ है कि

1 इकाई 50,000 इकाइयों को दर्शाती है

या 1 इंच 50,000 इंच को दर्शाता है।

या 6 " $50,000 \times 6 / 63,360$ मील को दर्शाता है

$=6$ ’ 4.73 मील को दर्शाता है

चूँकि 4.73 (मील) एक गोल संख्या नहीं है, हम 5 को गोल संख्या के रूप में लेते हैं।

$5 \mathrm{~km}$ दिखाने के लिए रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित गणनाएँ की जानी हैं:

4.73 मील को 6 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाता है

5 मील को $6 \times 5 / 4.73$ इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

$=5$ मील को 6.34 इंच की रेखा द्वारा दर्शाया जाएगा

निर्माण ग्राफिकल स्केल को निम्नलिखित चरणों में बनाया जा सकता है:

5 मील दिखाने के लिए एक ग्राफिकल स्केल बनाने के लिए हमें 6.34 इंच की एक रेखा खींचनी होगी और उसे 5 बराबर भागों में विभाजित करना होगा। सवाल यह है कि 6.3 इंच की एक असमान रेखा को 5 बराबर भागों में कैसे विभाजित किया जाए। ऐसा करने के लिए हम निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं:

• 6.3 इंच की एक सीधी रेखा खींचें।

• रेखा के प्रारंभ और अंत बिंदुओं से $40^{\circ}$ या $45^{\circ}$ के कोण पर रेखाएँ खींचें और उन्हें 1 या 1.5 इंच के 5 बराबर भागों में विभाजित करें।

• दोनों रेखाओं पर बनाए गए विभाजनों को जोड़ते हुए बिंदीदार रेखाएँ खींचें।

• इन रेखाओं के प्राथमिक स्केल पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

ऐसा करने से, आप 6.3 इंच की असमान रेखा को 5 बराबर भागों में विभाजित कर देंगे। आप उसी तरीके को दोहराकर प्राथमिक स्केल के बायें छोर वाले भाग को 4 या 8 भागों में विभाजित कर सकते हैं ताकि 1 मील के बराबर फर्लांग की संख्या दिखाई जा सके।

आकृति 2.4 ग्राफिकल स्केल में बराबर विभाजन की रेखाचित्र

अभ्यास

1. नीचे दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

(i) निम्नलिखित स्केल विधियों में से कौन-सी एक सार्वभौमिक विधि है? (a) सरल कथन (b) प्रतिनिधि भिन्न (c) ग्राफिकल स्केल (d) उपरोक्त में से कोई नहीं

(ii) मानचित्र की दूरी को पैमाने में इस रूप में भी जाना जाता है:
(a) अंश (Numerator)
(b) हर (Denominator)
(c) पैमाने का कथन (Statement of Scale)
(d) प्रतिनिधि अंश (Representative Fraction)

(iii) पैमाने में ‘अंश’ (Numerator) दर्शाता है:
(a) भूमि की दूरी
(b) मानचित्र की दूरी
(c) दोनों दूरियाँ
(d) उपर्युक्त में से कोई नहीं

2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए:

(i) मापन की दो भिन्न प्रणालियाँ कौन-सी हैं?
(ii) मीट्रिक और अंग्रेज़ी प्रणाली में पैमाने के कथन का एक-एक उदाहरण दीजिए।
(iii) प्रतिनिधि अंश विधि को सार्वभौमिक विधि क्यों कहा जाता है?
(iv) रेखीय विधि के प्रमुख लाभ क्या हैं?

3. दिए गए पैमाने के कथन को प्रतिनिधि अंश (R. F.) में बदलिए।

(i) 5 cm दर्शाता है 10 km
(ii) 2 इंच दर्शाता है 4 मील
(iii) 1 इंच दर्शाता है 1 गज
(iv) 1 cm दर्शाता है 100 मीटर

4. दिए गए प्रतिनिधि अंश (R. F.) को कोष्ठक में दिखाई गई मापन प्रणाली में पैमाने के कथन में बदलिए:

(i) 1:100,000 (किलोमीटर में)
(ii) 1:31680 (फरलॉन्ग में)
(iii) 1:126,720 (मील में)
(iv) 1:50,000 (मीटर में)

5. जब दिया गया R. F. 1:50,000 हो तो एक रेखीय पैमाना बनाइए और दूरियों को किलोमीटर और मीटर में पढ़िए।