हमें वर्तमान में प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की उपलब्धियों और उनके प्रति हमारे ऋण के बारे में बहुत कम ज्ञात है। प्राचीन काल में भारतीयों द्वारा गणित में किए गए कार्यों को देखकर व्यक्ति उनकी उपलब्धियों पर आश्चर्य करता है। यह भी हमें एहसास कराता है कि प्राचीन भारत में इसे कितना महत्वपूर्ण माना जाता था। उदाहरण के लिए, यह अब सामान्य रूप से स्वीकार किया जाता है कि दशमलव स्थान मान प्रणाली की संख्या संकेतन भारतीयों द्वारा आविष्कार की गई और पहली बार प्रयोग की गई।

यह अध्याय ईसवी सन् की सत्रहवीं शताब्दी तक के प्रारंभिकतम ज्ञात समय से भारत में गणित के कुछ प्रमुख क्षेत्रों की वृद्धि और विकास के बारे में एक अच्छा विचार देगा।

प्राचीन भारत की एक झलक

मोहनजोदड़ो में खोजों से पता चलता है कि ईसा पूर्व 3,000 तक सिंधु भूमि के निवासी अत्यंत संगठित जीवन जीते थे। वास्तव में, वे उस काल के किसी भी अन्य लोगों से अधिक उन्नत थे। वेदों के बाद आने वाली ब्राह्मण साहित्य (ईसा पूर्व 2000) आंशिक रूप से कर्मकांडी और आंशिक रूप से दार्शनिक है। इस ब्राह्मण काल के बाद दो हजार वर्षों से अधिक समय तक निरंतर प्रगति और शानदार उपलब्धियां हुईं। गणित विज्ञान या किसी अन्य ज्ञान शाखा की संस्कृति को आध्यात्मिक ज्ञान में बाधा नहीं माना जाता था।

गणित (गणिता) की संस्कृति को जैनों द्वारा भी महत्व दिया गया है। उनके धार्मिक साहित्य में गणित अनुयोग शामिल है। सांख्यान के ज्ञान को कहा जाता है कि

ब्राह्मण संहिताएँ प्राचीन भारतीय ग्रंथों का एक संग्रह हैं जिनमें चारों वेदों के मन्त्रों पर टीकाएँ दी गई हैं।

जैन पुरोहित की प्रमुख उपलब्धियों में से एक होना था। बौद्ध साहित्य में भी अंकगणित (गणना समीख्याना) को सबसे पहली और श्रेष्ठ कला माना गया है। ये सब मिलकर प्राचीन भारत में गणित के संस्कार को दी गई महत्ता और मूल्य की एक स्पष्ट झलक देते हैं।

संख्यात्मक प्रतीकों का विकास

बहुत प्रारम्भिक काल से ही भारत में गणना का आधार दस रहा है। यह भी भारत की विशेषता है कि बहुत बड़ी संख्याओं के नामों की एक लम्बी श्रृंखला मिलती है। यजुर्वेद संहिता और अन्य कई वैदिक ग्रंथों में 10¹² जितनी विशाल संख्याओं के प्रयोग के उल्लेख इस बात के पर्याप्त प्रमाण देते हैं कि उस दूरदराज के काल में भी भारतीयों के पास संख्यात्मक प्रतीकों की एक सुविकसित पद्धति रही होगी। अशोक के अभिलेखों पर लिखावटें दर्शाती हैं कि उसके समय भारत में संख्यात्मक प्रतीकों का प्रयोग सामान्य बात थी।

संख्यात्मक चिह्नों के रूपों में विभिन्नताएँ सुझाती हैं कि प्रतीक लंबे समय से प्रयोग में रहे हैं। ब्राह्मी संख्याएँ एक शुद्ध रूप से भारतीय आविष्कार हैं। इन प्रतीकों का हमारा ज्ञान सम्राट अशोक के समय (ई.पू. 300) तक जाता है, जिसके विशाल राज्य में सम्पूर्ण भारत सम्मिलित था और उत्तर में यह मध्य एशिया तक फैला हुआ था। नासिक जिले (तत्कालीन बॉम्बे प्रेसीडेंसी) की एक गुफा में ई.स. पहली या दूसरी सदी के कुछ शिलालेख मिले हैं जिनमें संख्याएँ अंकित हैं। ब्राह्मी लिपि में 1, 2 और 3 को एक-दूसरे के नीचे रखी एक, दो और तीन क्षैतिज रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता था।

आर्यभट्ट

अब यह स्पष्ट है कि भारत की गणित की दीर्घ परंपरा है। फिर भी, ई.स. 500-1200 की अवधि अत्यंत रोचक है, क्योंकि इसे भारतीय गणित का स्वर्ण (सिद्धांतिक) युग कहा जाता है। यह आर्यभट्ट प्रथम से प्रारंभ होता है, जिनका जन्म ई.स. 496 में हुआ था—एक अग्रणी गणितज्ञ जो ज्ञान के संग्रह और संगठन के लिए प्रसिद्ध हैं—और भास्कर द्वितीय पर समाप्त होता है, जिनका जन्म ई.स. 1114 में हुआ था और जिन्होंने गणित के ज्ञान को दृढ़ आधार प्रदान किया। इन दोनों के बीच के गणितज्ञ—वराहमिहिर (ई.स. 505), भास्कर प्रथम (ई.स. 600), ब्रह्मगुप्त (ई.स. 628), महावीर (ई.स. 850), श्रीधर (ई.स. 850), श्रीपति (ई.स. 1039)—समान रूप से प्रसिद्ध थे।

आर्यभट्ट प्रथम की आर्यभटीय दो खण्डों में है—दशगीतिके (दशमलव पैमाने पर कुछ आवश्यक मानक और शून्य की खोज, त्रिकोणमिति के तत्व) और गणित (आठ मूलभूत संक्रियाएँ, समतलीय ज्यामिति, बीजीय समीकरण और उनके हल)। ब्रह्मगुप्त के ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में दो खण्ड हैं—गणित (गणित) और कुट्टक (कुट्टक), जबकि भास्कर द्वितीय ने दो पृथक ग्रंथ लिखे—लीलावती (गणित) और बीजगणित (बीजगणित), जिनसे यह दिखता है कि इस काल में गणित का ज्ञान आयतन में कितना बढ़ गया है।

शून्य का चिह्न आर्यभट्ट प्रथम (जन्म ई. सं. ४९६) ने संख्याओं की दशमलव अभिव्यक्ति के सिलसिले में खोजा। आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं, “रिक्त स्थानों को एक वृत्त से भरना चाहिए” जो ‘शून्य’ जैसा दिखता है। इसे उनके टीकाकार भास्कर प्रथम (ई. सं. ६००) ने स्पष्ट किया है। इसने वास्तव में गणनात्मक गणित में क्रांति ला दी और नौ संख्यात्मक चिह्नों तथा शून्य के साथ संख्याओं को व्यक्त करने की सम्पूर्ण तकनीक को सरल बना दिया।

अंकगणित

अंकगणित पाटीगणित का प्रमुख भाग बनाता है। पाटीगणित शब्द दो शब्दों—‘पाटी’ जिसका अर्थ है ‘पट्ट’ और ‘गणित’ जिसका अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’—से मिलकर बना है। इस प्रकार इसका अर्थ है वह गणना-विज्ञान जिसमें लेखन सामग्री (पट्ट) का प्रयोग आवश्यक हो। गणितीय संक्रियाओं को कभी-कभी धूलिकर्म (‘धूल-कार्य’) कहा जाता था, क्योंकि आकृतियाँ धूल पर बिछे हुए पट्ट या भूमि पर बनाई जाती थीं। ब्रह्मगुप्त के अनुसार पाटीगणित में बीस संक्रियाएँ और आठ निर्धारण होते हैं। वह कहता है: “जो व्यक्ति बीस लॉजिस्टिक्स, अर्थात् योग आदि, और आठ निर्धारणों—जिनमें छाया-मापन सम्मिलित है—को स्पष्टतः और पृथक्-पृथक् जानता है, वह गणितज्ञ है।” आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) अपने सिद्धांत, आर्यभटीय, में गणित का एक अनुभाग सम्मिलित करने वाला प्रथम व्यक्ति था। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) ने इस दृष्टि से आर्यभट्ट का अनुसरण किया, और उसके पश्चात् सिद्धांत-ग्रंथ में गणित का एक अनुभाग सम्मिलित करना सामान्य प्रचलन हो गया।

भारत में संक्षिप्त रचना, विशेषकर वैज्ञानिक विषयों में, विद्वानों की दृष्टि में अधिक मूल्यवान थी। इसी कारण भारतीय ग्रंथों में केवल ज्ञात सूत्रों और परिणामों का संक्षिप्त कथन होता है, जो कभी-कभी इतनी संक्षिप्ति से व्यक्त होते हैं कि वे समझने में कठिन हो जाते हैं। यह संक्षिप्तता पुराने ग्रंथों में अधिक प्रखर है; उदाहरणस्वरूप, आर्यभटीय में प्रस्तुति उत्तरोत्तर ग्रंथों की तुलना में अधिक संक्षिप्त है।

ब्रह्मगुप्त

प्राचीन गणित के आठ मूलभूत संक्रियाएँ हैं: (1) योग, (2) व्यवकलन, (3) गुणा, (4) भाग, (5) वर्ग, (6) वर्गमूल, (7) घन और (8) घनमूल। आर्यभट्ट प्रथम ने केवल वर्ग और घनमूल निकालने के नियम दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने केवल घनमूल का नियम दिया।

यह बात कि सभी गणितीय संक्रियाएँ योग और व्यवकलन की दो मूलभूत संक्रियाओं के रूपांतर हैं, भारतीय गणितज्ञों ने प्रारंभिक काल से ही मान ली थी। भास्कर प्रथम कहते हैं कि-“सभी अंकगणितीय संक्रियाएँ दो श्रेणियों में समाहित हो जाती हैं, यद्यपि सामान्यतः इन्हें चार माना जाता है। दो मुख्य श्रेणियाँ हैं वृद्धि और ह्रास। योग वृद्धि है और व्यवकलन ह्रास है। संक्रियाओं की ये दो विधियाँ सम्पूर्ण गणित (गणिता) में व्याप्त हैं।” इसलिए पूर्व के आचार्यों ने कहा है: “गुणा और विकल्प योग के विशेष प्रकार हैं; और भाग और घात व्यवकलन के। वास्तव में प्रत्येक गणितीय संक्रिया वृद्धि और ह्रास से बनी होती है, यह पहचानी जाएगी।”

योग

आर्यभट्ट द्वितीय ने योग को इस प्रकार परिभाषित किया है—“अनेक संख्याओं का एक बन जाना योग है।” योग का प्राचीन नाम संकलित (साथ में बना हुआ) है। अन्य समानार्थक शब्द जो सामान्यतः प्रयुक्त होते हैं वे हैं—संकलन (साथ में बनाना), मिश्रण (मिलाना), संमेलन (साथ में घुलना-मिलना), प्रक्षेपण (साथ में फेंकना), संयोजन (साथ में जोड़ना), एकीकरण (एक में बनाना), युक्ति, योग (योग) और अभ्यास आदि। संकलित शब्द का प्रयोग कुछ लेखकों द्वारा श्रेणी के योग के सामान्य अर्थ में किया गया है।

सभी गणितीय और ज्योतिषीय ग्रंथों में योग की प्रक्रिया का ज्ञान स्वतः मान लिया जाता है। कुछ बाद के प्रारंभिक स्वरूप के ग्रंथों में इसका बहुत संक्षिप्त उल्लेख मिलता है। इस प्रकार भास्कर द्वितीय लीलावती में कहते हैं—“सीधे या उल्टे क्रम में समान स्थानों के अंकों को जोड़ो।” उपरोक्त में उल्लिखित सीधी योग प्रक्रिया में, जोड़ी जाने वाली संख्याओं को एक के नीचे एक लिखा जाता है और सबसे नीचे एक रेखा खींची जाती है, जिसके नीचे योग लिखा जाता है। सर्वप्रथम इकाई के स्थान पर खड़ी संख्याओं का योग लिखा जाता है, जिससे योग का प्रथम अंक प्राप्त होता है। फिर दहाई के स्थान की संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और उनका योग रेखा के नीचे खड़े आंशिक योग के दहाई के स्थान के अंक में जोड़ा जाता है और परिणाम उसके स्थान पर रखा जाता है। इस प्रकार योग का दहाई का अंक प्राप्त होता है, और इसी प्रकार आगे बढ़ा जाता है।

जोड़ की प्रक्रिया के विपरीत प्रक्रिया में, अंतिम स्थान (बायाँ छोर) में खड़ी संख्याओं को आपस में जोड़ा जाता है और परिणाम इस अंतिम स्थान के नीचे रखा जाता है। फिर अगले स्थान की संख्याओं को जोड़ा जाता है और यह प्रक्रिया चलती रहती है। आंशिक योग की संख्याओं को, यदि आवश्यक हो, तब सुधारा जाता है जब अगली ऊर्ध्वाधर पंक्ति के अंक जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए,
यदि अंतिम स्थान की संख्याओं का योग 12 हो, तो 12 को नीचे की रेखा के नीचे रखा जाता है, 2 को सीधे जोड़ी गई संख्याओं के नीचे; फिर, यदि अगले स्थान की संख्याओं का योग 13 (मान लीजिए) हो, तो 3 को जोड़े गए अंकों के नीचे रखा जाता है और 1 बायीं ओर ले जाया जाता है। इस प्रकार, आंशिक योग 12 के अंक 2 को मिटाया जाता है और 3 से बदला जाता है। आइए $26 + 57$ ज्ञात करें।

प्रत्यक्ष प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} &\text{चरण 1:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 1 \quad 3 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 2:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 3:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & (7 +1)\quad 3 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 4:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 8 \quad 3 \end{array} $

विपरीत प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} &\text{चरण 1:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 7 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 2:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 3:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & (7 +1)\quad 3 \end{array}\hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} &\text{चरण 4:}\\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline\\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्र. निम्नलिखित योगफल उपरोक्त विधियों से कीजिए। अपने उत्तरों को आजकल प्रचलित विधि से जाँचिए।

(i) $37 +49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57 +69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74 +36$

व्यवकलन

आर्यभट्ट द्वितीय (ई.सं. 950) व्यवकलन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

“सर्वधन (कुल) में से (किसी संख्या) को बाहर निकालना व्यवकलन है; जो शेष बचता है उसे शेष कहा जाता है।” व्युत्कलित (अलग किया गया), व्युत्कलन (अलग करना), शोधन (साफ़ करना), पतन (गिराना), वियोग (पृथक्करण) आदि पदों का प्रयोग व्यवकलन के लिए किया गया है। शेष (अवशेष) और अंतर (अंतर) पद शेषफल के लिए प्रयुक्त हुए हैं। घट्य को सर्वधन या विजोज्य और घातक को विजोजक कहा गया है।

भास्कर द्वितीय घटाव की विधि इस प्रकार देते हैं: “संख्याओं को उनके स्थानों के अनुसार सीधे या उलटे क्रम में घटाओ।” सीधी प्रक्रिया को एक उदाहरण की सहायता से समझाया गया है, मान लीजिए, $1000-360$। दहाई के स्थान पर खड़ी शून्य से छह नहीं घटाया जा सकता, इसलिए दस लेकर उससे छह घटाया जाता है, शेष (चार) को नीचे (छह) के नीचे रखा जाता है, और इस दस को अगले स्थान से घटाया जाना है।

क्योंकि, जैसे इकाई आदि के स्थान दस के गुणक होते हैं, इसलिए घटाने वाली संख्या का वह अंक जिसे घटाने वाली संख्या के संगत अंक से नहीं घटाया जा सकता, उसे दस से घटाया जाता है, शेष लिया जाता है और इस दस को अगले स्थान से काटा जाता है। इस प्रकार यह दस अंतिम स्थान तक ले जाया जाता है जब तक कि यह अंतिम अंक के साथ समाप्त न हो जाए। दूसरे शब्दों में, नौ तक की संख्याएँ एक स्थान घेरती हैं, स्थानों का विभेद दस से प्रारंभ होता है, इसलिए यह ज्ञात होता है कि किसी दी गई संख्या में कितने दस हैं, और इसलिए, वह संख्या जिसे उसके अपने स्थान से नहीं घटाया जा सकता, उसे अगले दस से घटाया जाता है, और शेष लिया जाता है।"

उलटी प्रक्रिया इसी प्रकार है, केवल अंतर यह है कि “यह घटाने वाली संख्या के अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, और पहले प्राप्त आंशिक अंतरों को, यदि आवश्यक हो, सुधारा जाता है। यह विधि पाटी (तख्ते) पर काम करने के लिए उपयुक्त है जहाँ अंकों को आसानी से मिटाया और सुधारा जा सकता है।”

प्र. घटाव कीजिए:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

गुणा

भारत में गुणा का सामान्य नाम गुणन है। यह शब्द सबसे प्राचीन प्रतीत होता है क्योंकि यह वैदिक साहित्य में प्रकट होता है। हनन, वध, क्षय आदि शब्द, जिनका अर्थ ‘मारना’ या ‘नष्ट करना’ है, का प्रयोग भी गुणा के लिए किया गया है। ये शब्द दशमलव स्थान-मान संख्याओं के साथ नई गुणा विधि की खोज के बाद प्रचलित हुए; क्योंकि इस नई विधि में गुण्य के अंक क्रमशः मिटाए (नष्ट किए) जाते थे और उनके स्थान पर गुणनफल के अंक लिखे जाते थे। हनन (मारना) के समानार्थक शब्दों का प्रयोग आर्यभट्ट प्रथम (ई.सं. 499), ब्रह्मगुप्त (ई.सं. 628), श्रीधर (ई.सं. 750) और बाद के लेखकों ने किया है। ये शब्द बख्शाली पाण्डुलिपि में भी प्रकट होते हैं। प्राचीन पारिभाषिक शब्दावली सिद्ध करती है कि गुणा की परिभाषा थी ‘गुण्य को गुणक के बराबर बार दोहराने वाली जोड़ की प्रक्रिया’। यह परिभाषा आर्यभटीय की भास्कर प्रथम की टीका में प्रकट होती है।

गुण्य को गुण्य और गुणक को गुणक या गुणकार कहा जाता था। गुणनफल को गुणन-फल (गुणा का परिणाम) या प्रत्युत्पन्न (‘पुनः उत्पन्न’, इसलिए अंकगणित में ‘गुणा द्वारा पुनः उत्पन्न’) कहा जाता था।

गुणा की विधियाँ

ब्रह्मगुप्त चार विधियों का उल्लेख करते हैं: (1) गोमूत्रिका, (2) खंड, (3) भेद, और (4) इष्ट। आर्यभट्ट द्वितीय (ई. पू. 950) ने विधि का नाम नहीं दिया और कहा: “गुणज के प्रथम अंक को गुण्य के अंतिम अंक के ऊपर रखें, फिर गुणज के सभी अंकों को गुण्य के प्रत्येक अंक से क्रमशः गुणा करें।”

श्रीपति (ई. पू. 1039) कपाट-संधि नाम देते हैं और कहते हैं: “गुण्य को गुणज के नीचे दो दरवाजों के संयोग की भाँति रखकर, सीधे या उलटे क्रम में घुमाते हुए (गुण्य के अंकों को) क्रमशः गुणा करें।”

निम्नलिखित उदाहरण कपाट-संधि योजना के अनुसार गुणा की दो प्रक्रियाओं को समझाते हैं:

सीधी प्रक्रिया; यह कार्यविधि लोकप्रिय नहीं रही। ग्यारहवीं शताब्दी के बाद के लेखकों ने इसका उल्लेख नहीं किया है, श्रीपति (ई. पू. 1039) इसका उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक हैं।

उदाहरण; 135 को 12 से गुणा करें।

संख्याओं को पाटी पर इस प्रकार लिखा जाता है:

12

135

गुण्य का प्रथम (अर्थात् दायाँ से सबसे दायाँ) अंक (5) लिया जाता है और गुणज के अंकों से गुणा किया जाता है। इस प्रकार

$5 \times 2 =10$; 0 को 2 के नीचे लिखा जाता है, और 1 को आगे बढ़ाया जाता है।

फिर $5 \times 1 =5$; 1 (आगे बढ़ाया गया) जोड़ने पर हमें 6 मिलता है। संख्या 5, जिसकी अब आवश्यकता नहीं है, मिटा दी जाती है और उसके स्थान पर 6 लिखा जाता है। इस प्रकार, हमारे पास है:

12

1360

फिर गुणज को एक स्थान बाईं ओर सरकाया जाता है, और हमारे पास है:

12

1360

अब, 12 को 3 से गुणा किया जाता है। विवरण इस प्रकार है: $3 \times 2 =6$; यह 6, 2 के नीचे स्थित 6 में जोड़ा जाता है जिससे 12 प्राप्त होता है। 6 को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 2 लिखा जाता है। 1 को carry किया जाता है। फिर $3 \times 1 =3$; 3 में 1 (carry) जोड़ने पर $=4$। 3 को मिटा दिया जाता है और 4 लिखा जाता है। गुणक 12 को बाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद, पाटी पर अंक इस प्रकार हैं:

12

1420

फिर, $1 \times 2 =2; 2 +4 =6; 4$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है। $1 \times 1 =1$, जिसे 6 के बाईं ओर रखा जाता है।

चूंकि संक्रिया समाप्त हो गई है, 12 को मिटा दिया जाता है और पाटी पर गुणनफल 1620 है।

इस प्रकार संख्याएं 12 और 135 नष्ट हो गई हैं और एक नई संख्या 1620 उत्पन्न हुई है (प्रत्युत्पन्न)।

विलोम प्रक्रिया: विलोम विधि की दो किस्में प्रतीत होती हैं।

(a) पहली में, संख्याएं इस प्रकार लिखी जाती हैं:

12

135

गुणन गुण्य के अंतिम (अर्थात् सबसे बाईं ओर के) अंक से प्रारंभ होता है।

इस प्रकार $1 \times 2 =2; 1$ को मिटा दिया जाता है और 2 लिखा जाता है; फिर $1 \times 1 =1$, यह बाईं ओर लिखा जाता है; गुणक 12 को अगले अंक पर ले जाया जाता है। अब पाटी पर कार्य इस प्रकार है:

12 1235

फिर, $3 \times 2 =6; 3$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है; फिर $3 \times 1 =3$ और $3 +2 =5; 2$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 5 लिखा जाता है। गुणक को स्थानांतरित करने के बाद, अब पाटी पर कार्य इस प्रकार है:

12

1565

अब, $5 \times 2 =10; 5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 0 रखा जाता है; फिर $5 \times 1 =5; 5 +1 =6; 6 +6 =12; 6$ को मिटा दिया जाता है और 2 रखा जाता है, और 1 कैरी किया जाता है; फिर $1 +5 =6,5$ को मिटा दिया जाता है और 6 रखा जाता है। पाटी में अब गुणनफल (प्रत्युत्पन्न) के रूप में 1620 है। जिन अंकों को कैरी करना है, उन्हें पाटी के एक अलग हिस्से पर नोट किया जाता है और जोड़ने के बाद मिटा दिया जाता है।

(b) दूसरी विधि में, आंशिक गुणन (अर्थात् गुण्य के अंकों से गुणन) सीधी विधि से किए जाते हैं। ये आंशिक गुणन, हालांकि, उल्टे क्रम में किए जाते प्रतीत होते हैं, यही सामान्य ढंग है।

निम्नलिखित संख्याओं को सीधी और परोक्ष विधियों से गुणा कीजिए। उत्तर आधुनिक गुणन तकनीक से जाँचिए:

(i) $345 \times 27$

(ii) $678 \times 45$

(iii) $756 \times 98$

भाग

भाग को गुणन का व्युत्क्रम माना जाता था। इस संक्रिया के सामान्य भारतीय नाम भागहर, भाजन, हरण, छेदन आदि हैं। इन सभी शब्दों का शाब्दिक अर्थ है ‘टुकड़ों में तोड़ना’, अर्थात् ‘भाग करना’, सिवाय हरण के, जिसका अर्थ है ‘हटा लेना’। यह शब्द भाग को घटाव से संबंधित दिखाता है। भाज्य को भाज्य, हार्य आदि कहा जाता है, भाजक को भाजक, भागहर या सरलतः हर, और भागफल को लब्धि कहा जाता है, जिसका अर्थ है ‘जो प्राप्त हुआ’ या लब्ध।

लंबी भाग विधि

निम्नलिखित उदाहरण पाटी पर संक्रिया करने की भारतीय विधि को स्पष्ट करेगा:

उदाहरण: 1620 को 12 से भाग दें।

भाजक 12 को भाज्य के नीचे इस प्रकार रखा जाता है: 1620

12

प्रक्रिया भाज्य के अत्यंत बाएँ से प्रारंभ होती है, जो इस स्थिति में 16 है। इस 16 को 12 से भाग दिया जाता है। भागफल 1 को एक अलग पंक्ति में रखा जाता है। इस प्रकार, आंशिक भागफल 1 लिखे जाने के बाद प्रक्रिया इस प्रकार है:

1620

12 1

भागफलों की पंक्ति

16 को मिटा दिया जाता है और शेष 4 को उसके स्थान पर रखा जाता है। घटाव इस प्रकार किया जाता है कि प्रत्येक अंक प्राप्त होते ही उसे क्रमशः मिटाया जाता है, पाटी पर अंक इस प्रकार हैं:

420

12

$$\frac{1}{\text { भागफलों की पंक्ति }}$$

अब भाजक 12 को एक स्थान दाईं ओर सरकाया जाता है जिससे यह हो जाता है: 420

12

$$ \frac{1}{\text { भागफलों की पंक्ति }} $$

फिर 42 को 12 से भाग दिया जाता है। परिणामी भागफल 3 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है, 42 को मिटा दिया जाता है और शेष 6 को उसके स्थान पर रखा जाता है। अब अंक इस प्रकार हैं:

12

$$ \begin{equation*} \frac{13}{\text { भागफलों की पंक्ति }}\tag{60} \end{equation*} $$

भाजक को एक स्थान दाईं ओर सरकाने पर, हमें मिलता है 60

12

पहले की तरह भाग देने के बाद, परिणामी भागफल 5 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में रखा जाता है और 60 को मिटा दिया जाता है जिससे कोई शेष नहीं बचता। भागफलों की पंक्ति में 135 है, जो अभीष्ट परिणाम है।

उपरोक्त प्रक्रिया, जब अंक मिटाए नहीं जाते और क्रमिक चरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है, तो यह आधुनिक लंबा भाग विधि बन जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह विधि भारत में चौथी शताब्दी ईस्वी के आसपास, यदि पहले नहीं, तो अविष्कृत हुई थी।

(i) 1771 को 23 से भाग दें

(ii) 9728 को 32 से भाग दें

(iii) 6930 को 45 से भाग दें

भिन्न

सबसे प्राचीनतम ज्ञात ग्रंथ, ऋग्वेद में, आधा (अर्ध) और तीन-चौथाई (त्रि-पाद) भिन्न आते हैं। मैत्रायणी संहिता के एक पद में, एक-सोलहवां (कला), एक-बारहवां (कुष्ठ), एक-आठवां (सफ) और एक-चौथाई (पाद) भिन्नों का उल्लेख है। सबसे प्राचीन ज्ञात गणितीय ग्रंथ, शुल्बसूत्र में, भिन्नों का केवल उल्लेख ही नहीं किया गया है, बल्कि उन्हें समस्याओं के कथन और हल में भी प्रयोग किया गया है।

ऋग्वेद में तीन-चौथाई भिन्न का प्रयोग सम्भवतः हमारे ज्ञात संयुक्त भिन्नों का सबसे प्राचीन अभिलेख है। संस्कृत संयुक्त शब्द त्रि-पाद का शाब्दिक अर्थ है ‘तीन पैर’। संख्या के रूप में प्रयुक्त होने पर यह दर्शाता है कि विचाराधीन भाग का सम्पूर्ण से वही अनुपात है जो चौपाये के तीन पैरों का उसके कुल पैरों से होता है। शब्द पाद, हालाँकि, एक-चौथाई के लिए प्रयुक्त एक शब्द-संख्या है, और संयुक्त त्रि-पाद ठीक उसी नियम पर बना है जिस पर अंग्रेज़ी शब्द three-fourth बना है। शुल्ब में इकाई भिन्नों को भाग या अंश शब्द के साथ मूल संख्या के प्रयोग से दर्शाया गया है; इस प्रकार पञ्च-दश-भाग (पंद्रह भाग) पन्द्रहवें भाग के समतुल्य है, सप्त-भाग (सात भाग) सातवें भाग के समतुल्य है, और इसी प्रकार आगे। भाग या अंश शब्द के साथ क्रमवाचक संख्याओं का प्रयोग भी काफ़ी सामान्य है, उदाहरणतः पञ्चम-भाग (पाँचवाँ भाग) पाँचवें भाग के समतुल्य है। कभी-कभी भाग शब्द को छोड़ दिया जाता है, सम्भवतः छन्द की सुविधा के लिए। संयुक्त भिन्न जैसे $3 / 8$ और $2 / 7$ को क्रमशः त्रि-अष्टम (तीन-आठवाँ) और द्वि-सप्तम (दो-सातवाँ) कहा जाता है।

वर्ग

संस्कृत में वर्ग के लिए शब्द वर्ग या कृति है। वर्ग शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘पंक्तियाँ’ या ‘दल’ (समान वस्तुओं का)। परंतु गणित में यह ‘सामान्यतः वर्ग घात को और वर्ग आकृति या उसके क्षेत्रफल को दर्शाता है’। इस प्रकार आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं: “चार समान भुजाओं की वर्ग आकृति और (उसके क्षेत्रफल को दर्शाने वाली) संख्या को वर्ग कहा जाता है। दो समान राशियों का गुणनफल भी वर्ग है।”

कृति शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘करना’, ‘बनाना’ या ‘क्रिया’। इसमें विशिष्ट प्रदर्शन की भावना है, संभवतः आलेखीय निरूपण। दोनों शब्द वर्ग और कृति का उपयोग गणितीय ग्रंथों में किया गया है, परंतु वर्ग शब्द को प्राथमिकता दी गई है।

निम्नलिखित पाटी पर कार्य करने की विधि है, प्रक्रिया अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, श्रीधर, महावीर, भास्कर द्वितीय और अन्य के अनुसार:

उदाहरण: 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।

संख्या लिखी जाती है:

125

बाईं ओर से अंतिम अंक 1 है। उसका वर्ग स्वयं के ऊपर रखा जाता है।

1

125

फिर अंतिम अंक (अर्थात् 1) का दुगुना है $2 \times 1 =2$; इसे शेष अंकों के नीचे (2 के नीचे या 5 के नीचे, प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम गुणन विधि के अनुसार, जो भी प्रयोग में हो) रखकर अंतिम अंक 1 को मिटा दिया जाता है, पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखता है:

1

25

2

2 से गुणन करते हुए (नीचे, अर्थात् $25 \times 2 =50$ ) और परिणामों को संबंधित अंकों के ऊपर रखते हुए, 2 को मिटा देते हैं, हमें प्राप्त होता है:

150

25

एक चक्र का संचालन पूरा हो गया है। अगला, शेष अंकों अर्थात् 25 को एक स्थान दायीं ओर सरकाने पर हमें मिलता है:

150

25

अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, अर्थात् अंतिम अंक (2) का वर्ग उसी पर रखा जाता है (0 को मिटाकर), जिससे मिलता है:

154

25

फिर, अंतिम अंक का दुगुना (अर्थात् $2 \times 2 = 4$) शेष अंकों के नीचे रखा जाता है और 2 को मिटा दिया जाता है, जिससे हमें मिलता है:

154

5

4

गुणा करने पर, $4 \times 5 = 20$, और इसे संगत अंक 5 के ऊपर रखने पर (अर्थात् 0 को 5 पर और 2 को बाईं ओर कैरी कर), पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखता है:

1560

5

इस प्रकार, संचालन का दूसरा चक्र पूरा हो गया। फिर 5 को सरकाने पर हमें मिलता है:

1560

5

5 का वर्ग करने पर हमें 25 मिलता है, और इसे 5 के ऊपर रखने पर, 0 को प्रतिस्थापित कर (अर्थात् 5 को 5 पर और 2 को बाईं ओर कैरी कर), हमें मिलता है: 15625 5

चूँकि कोई शेष अंक नहीं बचे, कार्य समाप्त होता है।

5 को मिटा देने पर, पाटी पर 15625 होता है, जो अभीष्ट वर्ग है।

प्र. उपरोक्त विधि का प्रयोग कर निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए। उत्तरों की जाँच वर्तमान वर्ग ज्ञात करने की विधि से कीजिए।

(i) 234

(ii) 356

(iii) 487

(iv) 753

(v) 269

वर्गमूल

‘मूल’ के लिए हिंदी शब्द मूल और पाद हैं। संस्कृत साहित्य में मूल शब्द का सामान्य अर्थ पौधे या वृक्ष की ‘जड़’ है; परंतु रूपकात्मक रूप से यह किसी वस्तु का पैर या सबसे निचला भाग या तल होता है। इसके अन्य अर्थ हैं आधार, नींव, कारण, उत्पत्ति आदि। पाद शब्द का अर्थ है ‘टांग का निचला भाग’ (रूपकात्मक रूप से किसी वस्तु का निचला भाग या आधार), पैर, भाग, अंश, पक्ष, स्थान, कारण, शतरंज के बोर्ड पर एक वर्ग आदि। दोनों शब्दों के सामान्य अर्थ हैं पैर, किसी वस्तु का सबसे निचला भाग या आधार, कारण या उत्पत्ति। इसलिए यह बिल्कुल स्पष्ट है कि भारतीयों ने वर्ग-मूल शब्द से वर्ग का कारण या उत्पत्ति या वर्ग (आकृति) की भुजा अभिप्रेत की थी।

वर्गमूल ज्ञात करने की विधि का वर्णन आर्यभटीय में बहुत संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:

“सदैव सम स्थान को दोगुने वर्गमूल (पूर्ववर्ती विषम स्थान तक) से भाग दीजिए; विषम स्थान से भागफल के वर्ग को घटाने के बाद, भागफल को अगले स्थान पर (मूल की पंक्ति में) रखने पर मूल प्राप्त होता है।” इस विधि को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

उदाहरण: 54756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

विषम और सम स्थानों को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाओं से चिह्नित किया गया है। विभिन्न चरण तब इस प्रकार दर्शाए गए हैं।

प्रक्रिया समाप्त होती है। मूल 234 है।

ज्यामिति

अस्तित्व में आने वाले सबसे प्राचीन गणितीय ग्रंथ बौधायन, आपस्तम्ब और कात्यायन के शुल्बसूत्र हैं, जो कि उत्तर वैदिक युग के सूत्र काल के साहित्य का भाग हैं। शुल्बसूत्रों के 800 ई.पू. के आसपास रचे जाने का अनुमान लगाया गया है। परंतु इन सूत्रों में दर्ज गणितीय ज्ञान और भी प्राचीन है; क्योंकि शुल्ब लेखक इस बात पर बल देते हैं कि वे केवल उन तथ्यों को कह रहे हैं जो प्रारंभिक वैदिक युग के ब्राह्मणों और संहिताओं के रचनाकारों को पहले से ज्ञात थे। शुल्बसूत्र गणित के उन परिणामों का संकलन देते हैं जिनका उपयोग विभिन्न सुरुचिपूर्ण वैदिक अग्नि वेदियों की रचना और निर्माण के लिए किया गया था। वेदियों को समृद्ध प्रतीकात्मक महत्व प्राप्त था और इन्हें सटीकता से बनाना आवश्यक था। इनमें से कई ईंट-वेदियों की रचनाएं काफी रोचक हैं, उदाहरण के लिए, वक्र पंखों के साथ उड़ान भरते बाज़, पूरी तरह से तीलियों वाली रथ-चक्र या फैले हुए सिर और पैरों वाला कछुआ दर्शाने वाली रचनाएं हैं। शुल्बसूत्र में त्रिभुजों के प्रकार अर्थात् सम, द्विसम और विषमत्रिभुज मूलतः समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज थे।

बौधायन

इतिहास में समतल ज्यामिति दो महत्वपूर्ण स्तंभों पर खड़ी मानी जाती रही है जिनके अनुप्रयोग हैं: (i) जिसे लोकप्रिय रूप से ‘पाइथागोरस प्रमेय’ कहा जाता है, और (ii) समरूप आकृतियों के गुणधर्म। सुल्बसूत्रों में पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन देखा जा सकता है साथ ही विभिन्न ज्यामितीय रचनाओं में इसके अनुप्रयोग, जैसे दो दिए गए वर्गों के योग या अंतर के बराबर क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाना, या एक आयत बनाना।

आर्यभट्ट प्रथम ने सभी सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल या परिमाप के लिए सही सूत्र दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सही सूत्र दिए; साथ ही चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल जब भुजाएँ ज्ञात हों, और चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण।

बीजगणित

बीजगणित विज्ञान का भारतीय नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है ‘तत्व’ या ‘विश्लेषण’ और गणित का अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’। इस प्रकार बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है ‘तत्वों के साथ गणना का विज्ञान’ या ‘विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान’। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) बीजगणित को कुट्टकगणित या सरलतया कुट्टक कहते हैं। कुट्टक शब्द, जिसका अर्थ है ‘पीसने वाला’, बीजगणित विज्ञान की एक शाखा को दर्शाता है जो विशेष रूप से प्रथम कोटि की अनिर्धारित समीकरणों के विषय से संबंधित है। यह जानना रोचक है कि इस विषय को भारतीयों ने इतना महत्वपूर्ण माना कि सातवीं शताब्दी के आरंभ में सम्पूर्ण बीजगणित विज्ञान का नाम इसी के नाम पर रखा गया। बीजगणित को अव्यक्त-गणित, या “अज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (अव्यक्त = अज्ञात) भी कहा जाता है, जो व्यक्त-गणित, या “ज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (व्यक्त = ज्ञात) नाम से पुकारे जाने वाले अंकगणित (जिसमें ज्यामिति और क्षेत्रमिति सम्मिलित हैं) के विपरीत है।

बीजगणित का महत्व

प्राचीन भारतीय बीजगणित को अत्यंत उपयोगी विज्ञान मानते थे। बीजगणित पर अपने ग्रंथ के प्रारंभिक श्लोकों में ब्रह्मगुपट टिप्पणी करते हैं:

“चूँकि बीजगणित के बिना प्रश्नों को जानना (अर्थात् हल करना) दुर्लभ है, इसलिए मैं उदाहरणों सहित बीजगणित का वर्णन करूँगा। कुट्टक, शून्य, ऋण और धन राशियाँ, अज्ञात, मध्यपद-लोप, एक अज्ञात वाली समीकरणें, फैक्टम और वर्ग-स्वभाव को जानकर कोई विद्वानों में विद्वान प्राध्यापक (आचार्य) बन जाता है।”

इसी प्रकार भास्कर द्वितीय (ई.सं. 1150) लिखते हैं—“जिसे विद्वान गणक (संख्यापक) बुद्धि की उत्पत्तिकर्ता कहते हैं, जो एक विवेकी सत्ता (सत्पुरुष) के निर्देशन में कार्य करती है और जो सभी ज्ञात (व्यक्त) वस्तुओं की मूल कारण (बीज) है, मैं उस अदृश्य ईश्वर तथा अज्ञातों की गणना-विद्या को वंदन करता हूँ… चूँकि प्रश्न शायद ही बिना बीजगणितीय तर्क के हल किए जा सकते हैं, और निश्चित रूप से मंदबुद्धि व्यक्तियों द्वारा नहीं, इसलिए मैं विश्लेषण की क्रियाओं का वर्णन करूँगा।” इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को वह विज्ञान कहा जा सकता है जो प्रतीकों द्वारा व्यक्त संख्याओं का अध्ययन करता है, और जिसमें बुद्धिमान युक्तियों तथा चतुर उपायों के लिए पर्याप्त गुंजाइश और प्राथमिक आवश्यकता होती है।

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति का पता सुल्ब (ई.पू. 800-500) और ब्राह्मण (ई.पू. 2000) काल से लगाया जा सकता है। परंतु उस समय यह अधिकतर ज्यामितीय था। वर्ग को एक दी गई भुजा वाले आयत में रूपांतरित करने की ज्यामितीय विधि, जो प्रमुख सुल्ब में वर्णित है, स्पष्ट रूप से एक अज्ञात राशि वाले रैखिक समीकरण $a x=c^{2 n}$ के हल के समतुल्य है। द्विघात समीकरण का समकक्ष एक ऐसे आकृति (वेदी) के निर्माण में मिलता है जो किसी दी गई आकृति के समरूप हो परंतु उससे एक निर्धारित मात्रा में क्षेत्रफल में भिन्न हो। उस समस्या को हल करने की सामान्य विधि आकृति की रैखिक मापों की मापन इकाई को बढ़ाना था।

आर्यभट्ट प्रथम ने द्विपद प्रसार (Binomial expansion) में भी महत्वपूर्ण योगदान दिए। इनका उपयोग घातांक, वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल आदि संक्रियाओं को ज्ञात करने के लिए किया गया।

त्रिकोणमिति

बीजगणित की संकल्पनाओं के विकास के अतिरिक्त, भारतीयों ने त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं को भी व्यवस्थित रूप से विकसित किया, जो इसके आधुनिक रूप से मेल खाती थीं। उन्होंने इसके आगे के विकास में बीजगणित का प्रयोग किया।

यद्यपि यूनानियों ने त्रिकोणमिति की स्थापना की, परन्तु उनकी प्रगति पर्याप्त बीजगणितीय यंत्रों और संकेतों की अनुपस्थिति के कारण रुक गई। भारतीयों ने साइन और कोसाइन फलनों की खोज की, अधिकांश मानक सूत्रों और पहचानों की खोज की, जिनमें $\sin (A\pm B)$ का मूलभूत सूत्र भी शामिल है, और अपेक्षाकृत सटीक साइन सारणियाँ बनाईं। ब्रह्मगुप्त (ई. पू. 628) और गोविन्दस्वामी (ई. पू. 880) ने साइन सारणियों से मध्यवर्ती कोणों के साइनों की गणना के लिए अंतर्वेशन सूत्र दिए — ये द्वितीय कोटि के अंतर के लिए न्यूटन-स्टर्लिंग और न्यूटन-गॉस सूत्रों के विशेष मामले हैं (जो उच्च कक्षाओं में पढ़ाए जाते हैं)। भारतीय ग्रंथों में उल्लेखनीय सन्निकटन दिए गए हैं, जिनमें आर्यभट्ट प्रथम (ई. पू. 499) का 3.1416, माधव (ई. पू. 1500) का 3.14159265359 और नीलकण्ठ (ई. पू. 1500) का 355/113 शामिल हैं।

आर्यभट्ट प्रथम ने पहली बार एक चतुर्थ-वृत्त के भीतर समकोण त्रिभुज को परिभाषित किया और लंब तथा आधार को कोण के फलन के रूप में व्यक्त किया, और लंब, ज्या या जीवा को $R\operatorname{Sin}\theta$ के रूप में तथा आधार, को-ज्या को $R\operatorname{Cos}\theta$ के रूप में व्यक्त किया, जो संबंध $(R\operatorname{Sin}\theta)^{2}+(R\operatorname{Cos}\theta)^{2}=R^{2}$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है। उन्होंने मान दिए, $R$ Sin $0^{\circ}=0, R\operatorname{Sin} 30^{\circ}=R /\sqrt{ } 3$, $R\operatorname{Sin} 45^{\circ}=R /\sqrt{ } 2, R\operatorname{Sin} 60^{\circ}=R\sqrt{3} / 2, R\operatorname{Sin} 90^{\circ}=R$।

उन्होंने आगे सुझाव दिया कि Sine के मान अंतराल $0 \leq\theta\leq 1$ में बढ़ते हैं, और Cosine के मान उसी प्रकार घटते हैं, अर्थात् $\mathrm{R}\operatorname{Cos} 0^{\circ}=\mathrm{R}$ और $\operatorname{Cos} 90^{\circ}=0$। ये सभी तथ्य आधुनिक त्रिकोणमिति में भी अध्ययन किए जाते हैं।

अभ्यास

1. प्राचीन गणितज्ञों को कितनी मूलभूत संक्रियाएँ ज्ञात थीं? वे क्या हैं?

2. प्राचीन भारतीय गणितज्ञों और उनकी अवधि का नाम बताइए, जिन्होंने ज्यामिति और त्रिकोणमिति में कार्य किया।

क्या आपको प्राचीन गणितीय संकल्पनाओं और आपके द्वारा अध्ययन की जा रही वर्तमान बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति की गणितीय संकल्पनाओं के बीच कोई समानता दिखाई देती है? (आप संदर्भों में दिए गए साहित्य का भी उल्लेख कर सकते हैं)।

3. (क) क्या आपको लगता है कि संख्याओं पर आधारभूत संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया में प्राचीन काल और आज आपने जो पद्धति पढ़ी है, उनमें कोई अंतर है?

(ख) आपको कौन-सी प्रक्रिया आसान लगती है? क्यों? अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

4. कम-से-कम तीन ऐसे पद लिखिए जिनका प्रयोग प्राचीन गणितज्ञों ने किया था और उनके अर्थ दीजिए:

(क) योग
(ख) व्यवकलन
(ग) गुणा
(घ) भाग

5. साहित्य से उन गणितीय संकल्पनाओं का पता लगाइए जो इस अध्याय में चर्चित नहीं हुई हैं और जिनका विकास भारतीय गणितज्ञों ने किया।

शब्दावली

गणित अनुयोग; गणित के सिद्धांतों का प्रतिपादन

कपट-संधि; संख्याओं को गुणा करने की एक विधि

सांख्यान; संख्याओं का विज्ञान, अर्थात् अंकगणित तथा खगोलशास्त्र

शुल्बसूत्र; संस्कृत नाम शुल्बसूत्र या ‘शुल्व सूत्र’ सर्वेक्षण करने वालों की उस प्रथा से लिया गया है जिसमें वे जमीन के समीप डोरियों और खूँटियों से सीधी रेखाएँ खींचते थे। आज भी हम ईंटों के कारीगरों को यह कला प्रयोग करते देखते हैं, जब वे यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि दीवार सीधी है।

यजुर्वेद संहिता; यजुर्वेद-संहिताएँ अध्वर्यु पुरोहित के लिए प्रार्थना-पुस्तकें हैं, जिन्हें यज्ञ में लगभग सभी कर्मकांडीय कार्य करने होते हैं।